№
Докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.
Решение
Дано: параллелепипед с рёбрами длин
Доказательство.
-
Используем теорему о параллелограмме, доказанную в планиметрии: сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов четырёх сторон. Для основания
это даёт . -
Для диагонального параллелограмма
получаем . -
Для диагонального параллелограмма
аналогично . -
Складываем последние равенства:
-
Подставляем результат шага
:
Четыре ребра имеют длину, четыре — , четыре — ; поэтому правая часть есть сумма квадратов всех двенадцати рёбер.
Ответ
Помогло?
