ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян, номер 108

№

Теорема Чевы для биссектрис

В тетраэдре $DABC$ биссектрисы трёх углов при вершине $D$ пересекают отрезки $BC$ , $CA$ и $AB$ соответственно в точках $A_1$ , $B_1$ и $C_1$ . Докажите, что отрезки $AA_1$ , $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.

Решение

Дано: — биссектрисы углов граней . Доказать: конкурентны.

Доказательство.

По теореме о биссектрисе треугольника в грани имеем .
Аналогично в грани получаем , а в грани — .
Перемножим эти отношения:
Пусть и пересекаются в . Так как , треугольники и составляют одинаковую долю площадей треугольников и . Последние имеют основания и на одной прямой и общую высоту из . Поэтому . Аналогично . Отсюда . Если пересечёт в , то по тому же правилу площадей . По теореме о биссектрисе . Точка на с данным отношением единственна, значит, и проходит через .

Ответ

, , пересекаются в одной точке.

Помогло?

Номер 108