ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян, номер 103

№

Параллельные треугольники в тетраэдре

На рёбрах $DA$ , $DB$ и $DC$ тетраэдра $DABC$ отмечены точки $M$ , $N$ и $P$ так, что $DM:MA=DN:NB=DP:PC$ . Докажите, что плоскости $MNP$ и $ABC$ параллельны. Найдите площадь треугольника $MNP$ , если площадь треугольника $ABC$ равна 10 см² и $DM:MA=2:1$ .

Решение

Дано: ; см²; . Доказать: ; найти .

Доказательство.

Пусть общая доля . В треугольнике точки делят стороны в одинаковом отношении, поэтому по обратной теореме Фалеса .
Аналогично в треугольнике имеем . Пересекающиеся прямые плоскости соответственно параллельны пересекающимся плоскости . По признаку параллельности плоскостей .
Из отношения получаем , то есть . Коэффициент подобия треугольников и равен .
Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон. Значит, см².

Ответ

; см².

Помогло?ответ совпал с учебником

Номер 103