Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Дано: тетраэдр
Доказательство.
-
В треугольнике
отрезок — средняя линия, поэтому и . В треугольнике отрезок — средняя линия, поэтому и . -
Четырёхугольник
имеет равные и параллельные противоположные стороны , значит, он параллелограмм. Его диагонали и пересекаются в точке и делятся ею пополам (свойство диагоналей параллелограмма). -
Аналогично, взяв средние линии в треугольниках
и , получим параллелограмм, диагоналями которого служат и . Поэтому проходит через середину , то есть через ту же точку , и также делится ею пополам. -
Все три отрезка пересекаются в
и , , .
Три отрезка имеют общую середину.
