ГДЗ по алгебре 10-11 класс Алимов, номер 935

№

Построение графика, число корней уравнения

Построить график функции $y = \frac{x^3-4}{(x-1)^3}$ . Сколько действительных корней имеет уравнение $\frac{x^3-4}{(x-1)^3} = C$ при различных значениях $C$ ?

Решение

Область определения: .

Производная:

Знаменатель положителен при

. Стационарные точки:

. Знак

определяет

: при

— «−», на

— «+», при

— «−».

— минимум:

;

— максимум:



	↘		↗	↗		↘

Поведение около : числитель при равен ; при знаменатель с отрицательной стороны, значит ; при знаменатель положителен и мал, . При значения приближаются к (отношение старших членов ): при снизу (), при сверху (). Дополнительно: , ().

Число корней уравнения равно числу точек пересечения графика с горизонтальной прямой . Рассмотрим две ветви графика.

Левая ветвь (): от значения (не достигается) убывает до в точке , затем возрастает до . Правая ветвь (): возрастает от до в точке , затем убывает до значения (не достигается).

Считаем точки пересечения по значениям :

: левая ветвь значений не принимает, правая принимает один раз — корень;
: левая — раз (в точке ), правая — раз — корня;
: левая — раза, правая — раз — корня;
: левая — раз (убывающая часть до не доходит), правая — раз — корня;
: левая — раз, правая — раза — корня;
: левая — раз, правая — раз (в точке ) — корня;
: левая — раз, правая — раз — корень.

💡 Почему так

Число корней уравнения меняется при переходе через значения, равные экстремумам функции и значению, к которому график приближается на бесконечности.

Ответ

Один корень при и при ; два корня при , , ; три корня при и при .

Помогло?

Номер 935