№ Точки экстремума по графику производной
На рисунке 137 изображён график функции y=g(x), являющейся производной функции y=f(x). Используя график, найти точки экстремума функции y=f(x).
Решение
По условию . Точки экстремума функции — это точки, в которых производная равна нулю и меняет знак (п. ). Ищем нули на рисунке и смотрим знак графика слева и справа от них.
График пересекает ось в точках (отмечены на рисунке), и в каждой из них переходит с одной стороны оси на другую. Знаки (график ниже оси — «−», выше — «+»): левее — «−», на — «+», на — «−», на — «+», на — «−», правее — «+».
Так как , то в каждой из пяти точек производная меняет знак:
- : «−» → «+», минимум;
- : «+» → «−», максимум;
- : «−» → «+», минимум;
- : «+» → «−», максимум;
- : «−» → «+», минимум.
💡 Почему так
Знак производной определяет монотонность : где , возрастает, где — убывает.
Ответ
, , , , (минимумы при , максимумы при ).
