ГДЗ по учебникамГДЗ по фотоРешения

Номер 492

ГДЗ по алгебре 10–11 класс, Алимов 2023, страница 148

№ Доказательство тождеств с помощью формул сложения

Доказать тождество:

  1. sin⁡(α+β)sin⁡(α−β)=tg⁡α+tg⁡βtg⁡α−tg⁡β\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta};
  2. cos⁡(α−β)cos⁡(α+β)=ctg⁡α⋅ctg⁡β+1ctg⁡α⋅ctg⁡β−1\frac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\beta+1}{\operatorname{ctg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\beta-1};
  3. cos⁡(π4+α)=22(cos⁡α−sin⁡α)\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{\sqrt2}{2}(\cos\alpha-\sin\alpha);
  4. cos⁡(α+β)cos⁡αsin⁡β=ctg⁡β−tg⁡α\frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\sin\beta}=\operatorname{ctg}\beta-\operatorname{tg}\alpha;
  5. cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β))\cos\alpha\cos\beta=\frac12(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta));
  6. sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\sin\alpha\sin\beta=\frac12(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)).
Решение

Преобразуем одну часть (обычно левую) и приводим к другой, используя формулы сложения (§ ).

  1. Раскрываем числитель и знаменатель слева:


    Делим числитель и знаменатель на (для которых тангенсы определены):

  2. Раскрываем: . Делим числитель и знаменатель на :

  3. По формуле косинуса суммы

  4. Раскрываем числитель и почленно делим на :

  5. Преобразуем правую часть:

  6. Преобразуем правую часть:

Во всех пунктах левая часть сведена к правой, тождества доказаны.

Ответ

Тождества )–) доказаны.

Помогло?

Нет твоего задания?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.

Решить по фото
←Решить по фото→