№ Выбор двух точек на окружности
В окружность вписан равносторонний треугольник ABC. На этой окружности случайным образом выбирают две точки — D и E. Найдите вероятность того, что отрезок DE:
а) не пересекает ни одну из сторон треугольника;
б) пересекает ровно две стороны треугольника.
Решение
Вершины равностороннего треугольника делят окружность на три равные дуги , и . Поэтому вероятность для случайной точки попасть на каждую из них равна .
Если и принадлежат одной дуге, вся соединяющая их хорда лежит вне внутренности треугольника: сторона треугольника отделяет соответствующий круговой сегмент. Если они лежат на разных дугах, хорда входит в треугольник через одну сторону и выходит через другую, то есть пересекает ровно две стороны. Попадание точно в вершину имеет вероятность нуль.
а) После выбора его дуга уже определена. Поскольку выбирают независимо и равномерно, вероятность попасть на ту же дугу равна . Значит, .
б) Попасть на одну из двух других дуг точка может с вероятностью . Тогда по описанному расположению хорда пересечёт ровно две стороны. Можно также вычесть противоположное событие: .
Вывод: ответы определяются тем, на одной или на разных дугах оказались точки.
