№ Биссектриса внешнего угла
Биссектриса внешнего угла при вершине A треугольника ABC пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что ABBD=ACDC.
Решение
Дано: — биссектриса внешнего угла при , на продолжении стороны. Доказать: .
Пусть луч — продолжение за . По определению биссектрисы внешнего угла . Углы и смежные, поэтому . Синусы дополнительных углов равны, значит, .
Треугольники и имеют основания и на одной прямой и общую высоту из . Поэтому отношение их площадей равно . С другой стороны, по формуле площади через две стороны и синус угла между ними , . Равенство синусов и общая сторона дают . Приравниваем отношения: . Умножение крест-накрест приводит к .
