Дано: и — равнобедренные с общим основанием (значит, , ); прямая пересекает в точке .
Доказать: а) ; б) .
Решение.
а) Рассмотрим треугольники и : сторона — общая, (дано, боковые стороны треугольника ), (дано, боковые стороны треугольника ). По третьему признаку равенства треугольников .
Из этого равенства (соответственные углы) — пункт а) доказан. Также , то есть луч — биссектриса угла .
б) Треугольник равнобедренный с основанием (), а его биссектриса, проведённая из вершины (это луч ), по ранее доказанной теореме (п. ) является также медианой этого треугольника, то есть пересекает основание в его середине.
Точка — это и есть точка пересечения прямой (биссектрисы угла ) с отрезком , поэтому — середина , то есть .
