ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян, номер 795

№

Три перпендикулярные хорды сферы

Из точки сферы проведены три попарно перпендикулярные хорды. Докажите, что сумма их квадратов не зависит от положения этих хорд.

Решение

Дано: лежит на сфере радиуса , хорды попарно перпендикулярны. Доказать постоянство .

Обозначим единичные векторы хорд через . Так как хорды попарно перпендикулярны, они образуют ортонормированный базис. Пусть , , а длина хорды по направлению равна .

Конец хорды лежит на сфере: . Раскрывая квадрат и используя , получаем , откуда .

По теореме Пифагора для трёх взаимно перпендикулярных компонент . Поэтому , то есть квадрат диаметра.

Ответ

Помогло?

Номер 795