Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что пересечение тетраэдров AB1CD1 и C1BA1D есть правильный октаэдр.
Решение
Дано: куб с ребром . Доказать: общая часть указанных тетраэдров — правильный октаэдр.
Возьмём ребро куба за единицу и положим , , , . У первого тетраэдра четыре грани задаются неравенствами , , , . Это проверяется подстановкой его четырёх вершин: три вершины каждой грани дают равенство, четвёртая лежит с указанной стороны.
Для второго тетраэдра аналогично получаем , , , . Вместе восемь неравенств равносильны . Равенство задаёт восемь треугольных граней, а его шесть вершин имеют координаты , и аналогичные после перестановки координат. Это середины граней куба.
Расстояние между серединами соседних граней равно гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами и : . Значит, все двенадцать рёбер равны; каждая из восьми граней — равносторонний треугольник. По определению получен правильный октаэдр.
Ответ
Пересечение — правильный октаэдр с вершинами в центрах граней куба.
Помогло?
Нет твоего задания?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.
