№ Деление объёма тетраэдра пополам
Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объёмы которых равны.
Решение
Дано: тетраэдр , — середина . Доказать: плоскость делит объём пополам.
Плоскость разбивает исходный тетраэдр на и . Возьмём за их общее основание треугольник . Точки лежат по разные стороны плоскости основания. Расстояния от них до неё равны: подписанное расстояние изменяется линейно вдоль и в его середине равно нулю.
Значит, высоты двух тетраэдров к общему основанию равны. По формуле получаем . Каждая часть имеет половину исходного объёма.
Ответ
Объёмы двух частей равны.
