№ Перпендикулярность в правильной пирамиде
В правильной треугольной пирамиде DABC через боковое ребро DC и высоту DO пирамиды проведена плоскость α. Докажите, что: а) ребро AB перпендикулярно к плоскости α; б) перпендикуляр, проведённый из вершины C к апофеме грани ADB, является перпендикуляром к плоскости ADB.
Решение
Дано: — правильная треугольная пирамида; — центр основания; плоскость . Доказать а) ; б) если — середина , апофема , а при , то .
а) В равностороннем треугольнике центр лежит на медиане , где — середина . Медиана равностороннего треугольника есть высота, поэтому . Кроме того, как высота правильной пирамиды, значит, . Прямые и пересекаются в и обе лежат в . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости .
б) Апофема лежит в , поскольку . Точки и также лежат в , следовательно, . Из а) . По построению . Прямые и пересекаются в и лежат в плоскости грани . Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости , что и требовалось.
