ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян, номер 254

№

Элементы правильной треугольной пирамиды

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна $a$ , высота равна $H$ . Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский угол при вершине пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды; г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды; д) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

Решение

Дано: правильная пирамида , , , где — центр основания. Найти указанные длину и углы.

а) В равностороннем основании высота равна , а описанный радиус высоты . Так как , по теореме Пифагора боковое ребро .

б) Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами . Если плоский угол при равен , его половину делит высота к стороне . В прямоугольном треугольнике , следовательно, .

в) Проекция на основание — . По определению угла прямой с плоскостью . Значит, .

г) Пусть — середина . Радиус вписанной окружности основания , причём и . Поэтому — линейный угол между боковой гранью и основанием; . Значит, .

д) Обозначим двугранный угол между гранями и при через . В трёх одинаковых гранях плоские углы при равны . Если провести в этих двух гранях лучи, перпендикулярные общему ребру , их угол равен . Разложение направлений и на составляющие вдоль и поперёк него даёт . Поэтому . Из теоремы косинусов в боковой грани ; подстановка и формула половинного угла дают . Следовательно, .

Ответ

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Помогло?ответ совпал с учебником

Номер 254