№ Общая точка параболы с осью x при любых параметрах
Докажите, что при любых значениях a, b и c график функции y=(x−a)(x−b)−c2 имеет хотя бы одну общую точку с осью x.
Решение
Раскроем скобки: .
График пересекает или касается оси , если уравнение имеет хотя бы один действительный корень, то есть его дискриминант неотрицателен.
.
Сумма квадратов при любых , , , значит всегда, и уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень.
Ответ
Доказано: при любых , , , значит общая точка с осью есть всегда.
