№ Доказательство отсутствия решений уравнения с двумя переменными
Докажите, что уравнение не имеет решений:
а) x2+4xy+4y2+5=0;
б) x2−2xy+8+y2=0;
в) x2−2x+y2−4y+6=0;
г) x2y2−2xy+3=0.
Решение
а) , поэтому уравнение равносильно , то есть . Квадрат числа не может быть отрицательным, значит решений нет.
б) , поэтому уравнение равносильно , то есть — невозможно, решений нет.
в) Выделим полные квадраты: , то есть , откуда . Сумма квадратов не может быть отрицательной, значит решений нет.
г) Обозначим . Уравнение принимает вид . Выделим полный квадрат: , то есть — невозможно ни при каком , значит нет и значений , .
Ответ
Во всех четырёх случаях уравнение сводится к тому, что сумма квадратов (или квадрат) равна отрицательному числу, а это невозможно — решений нет.
