№ Доказательство отсутствия корней одного знака через произведение корней
Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков:
а) 3x2+113x−7=0;
б) 5x2−291x−16=0.
Решение
а) Здесь , , поэтому , значит при любом — корни есть. По теореме Виета . Произведение корней отрицательно, значит корни имеют разные знаки — одинаковых знаков быть не может.
б) Здесь , , поэтому , значит — корни есть. По теореме Виета — корни разных знаков.
💡 Почему так
Если , то всегда, а произведение корней : корни существуют и обязательно разных знаков.
Ответ
В обоих уравнениях , поэтому — корни всегда разных знаков, значит одинаковых знаков они иметь не могут.
