ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин, номер 305

№

Поиск точек перегиба

Найти точки перегиба функции: 1) $f(x)=\cos x$ , $-\pi<x<\pi$ ; 2) $f(x)=x^5-80x^2$ ; 3) $f(x)=x^3-2x^2+x$ ; 4) $f(x)=\sin x-\frac14\sin2x$ , $-\pi<x<\pi$ .

Решение

В каждом пункте ищем нули второй производной внутри заданной области и проверяем смену её знака: это критерий точки перегиба из §.

По формулам производных тригонометрических функций , . На равенство выполняется при и . При переходе через каждую точку косинус меняет знак, значит, и меняет знак. Ординаты . Получаем и .
По правилу производной степени , . Множитель положителен, поэтому отрицательна слева от и положительна справа. Ордината . Точка перегиба — .
Дифференцируем: , . Линейное выражение меняет знак при , то есть . Подстановка: . Точка перегиба — .
Производная по правилу сложной функции равна , поэтому . Ещё раз дифференцируем: по формуле двойного угла. В интервале нули — , , . На соседних промежутках знаки по очереди положительный, отрицательный, положительный, отрицательный: оба множителя меняют знак только в перечисленных точках. Значит, все три точки — точки перегиба. ; . Функция нечётная, поэтому .

Ответ

, ; ) ; ) ; ) , , .

Помогло?ответ совпал с учебником

Номер 305