№ Наибольшая площадь трапеции
На координатной плоскости даны точки A(3;−1) и D(4;−1). Рассматриваются трапеции, у которых отрезок AD является одним из оснований, а вершины другого основания лежат на дуге параболы y=1−x2, заданной на отрезке [−1;1]. Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
Решение
Чертёж. Основание лежит на прямой и имеет длину . Второе основание параллельно , значит, обе его вершины лежат на одной горизонтали, а на параболе две точки с равными ординатами симметричны относительно оси .
Шаг . Вводим переменную. Пусть вершины верхнего основания — точки и , где (при трапеции нет). Длина верхнего основания .
Шаг . Высота. Расстояние между прямыми и равно .
Шаг . Площадь трапеции (полусумма оснований на высоту):
Шаг . Производная.
Приравниваем к нулю:
,
,
, то есть
или
. В промежуток
попадает только
.
Шаг . Это максимум. При имеем (например, ), при имеем (например, ). Значит, в точке площадь наибольшая.
Шаг . Вычисляем.
Для сравнения:
.
💡 Почему так
Наибольшее значение функции на промежутке ищем через производную: находим стационарные точки, определяем знак производной слева и справа и сравниваем с концами промежутка.
