ГДЗ по алгебре 10-11 класс Алимов, номер 757

№

Симметрия графика арккосинуса

Доказать, что график функции $y=\arccos x$ симметричен относительно точки $\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$ .

Решение

График симметричен относительно точки , если для каждой его точки точка, симметричная ей относительно , тоже лежит на графике. Точка, симметричная относительно , имеет координаты (середина отрезка между ними — это : , ).

Пусть точка лежит на графике: , . Тогда и .

Проверим, что точка лежит на графике:

число тоже принадлежит , то есть входит в область определения;
влечёт , то есть лежит на отрезке — множестве значений арккосинуса;
по формуле приведения .

По определению арккосинуса число из , косинус которого равен , — это . Значит, , то есть точка принадлежит графику. Равенство верно для всех , поэтому график симметричен относительно точки , что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: , поэтому точки графика и симметричны относительно .

Помогло?

Номер 757