В треугольнике ABC (BC > AB) проведена… (геометрия)

№ Биссектриса, симметрия, пропорциональные отрезки

В треугольнике $A B C$ ( $B C > A B$ ) проведена биссектриса $B L$ . Пусть $D$ — точка, симметричная точке $A$ относительно прямой $B L$ . Прямая, проходящая через точку $D$ параллельно $B L$ , пересекает сторону $A C$ в точке $E$ . Найдите отношение $A B : B C$ , если $C E : E A = 1 : 10$ .

Решение

Пусть , .

Биссектриса является осью симметрии, поэтому точка лежит на луче и . Так как , точка лежит на стороне , и .
По свойству биссектрисы , поэтому .
Из получаем .
Так как , треугольники и подобны:

💡 Почему так

Отражение относительно биссектрисы переводит сторону в луч , поэтому . Параллельная прямая отсекает подобные треугольники.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Графы, компоненты связности

В спортивный лагерь приехали на отдых 155 школьников. Школьники $A$ и $B$ считаются приятелями, если они лично знают друг друга либо если найдутся такие школьники $C_{1}, C_{2}, \dots, C_{k}$ , что $A$ знает $C_{1}$ , $C_{1}$ знает $C_{2}$ , $\dots$ , $C_{k}$ знает $B$ . Известно, что в лагере среди любых 8 школьников имеется пара приятелей. Требуется сформировать команду из $N$ школьников так, чтобы любые двое в ней оказались приятелями. Для каких $N$ это гарантированно можно сделать? Выберите все подходящие варианты:

Решение

Варианты ответа на фото не видны, поэтому найдём все подходящие .

Считаем знакомство взаимным. Тогда школьники разбиваются на группы приятелей (компоненты связности): внутри группы все — приятели, между разными группами приятелей нет.

Групп не больше . Иначе взяли бы по одному школьнику из разных групп, и среди них не нашлось бы пары приятелей.
Тогда в какой-то группе не меньше школьников. Так как , то , значит, в группе не меньше человек. Любые двое из неё — приятели, поэтому можно собрать команду из любого .
гарантировать нельзя. Пример: групп, одна из и шесть по человека (). Среди любых школьников двое окажутся в одной группе, но приятелей больше в одной группе нет.

💡 Почему так

Если среди любых есть приятели, групп приятелей не больше . По принципу Дирихле самая большая группа содержит не меньше человек.

Ответ

✓ dzmen.ru

Гарантированно можно для всех от до (для — нельзя).

Помогло?

В треугольнике ABC (BC > AB) проведена биссектриса BL. Пусть D —…