На рисунке изображён угол с двумя пересекающимися отрезками. Необходимо найти…

Угол с вершиной O. На одной стороне отмечены точки P и T: OP = , PT = , значит OT = . На другой стороне отмечены D и F: OD = , DF = , значит OF = . Отрезки TD и PF пересекаются в точке Q, при этом TQ = , QD = x.

Рассмотрим треугольник OTD и прямую PF. Она пересекает сторону OT в точке P, сторону TD в точке Q и продолжение стороны OD в точке F. По теореме Менелая:

Примем сторону клетки за единицу и введём координаты: A(; ), B(; ), C(; ). Прямая выходит из точки F(−; ) на продолжении CA, пересекает AB в точке E(; ) и BC в точке D(; ).

Размеры отрезков: AF = , CF = , AE = , EB = .

По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой FD:

Проверка по координатам: точка D(; ) лежит на BC, BD : DC = : = : .

Пусть BN = y, NC = y, MA = AC = x. Прямая MN пересекает стороны треугольника ABC: AB в точке F, BC в точке N, продолжение CA в точке M. По теореме Менелая:

Здесь BN : NC = : и CM : MA = x : x = .

Пусть окружность касается AB в точке P и BC в точке Q. Отрезки касательных из одной точки равны: AP = AK = , CQ = CK = , BP = BQ.

Прямая PQ пересекает треугольник ABC в точках P (на AB), Q (на BC) и M (на продолжении AC). По теореме Менелая:

Так как PB = BQ, получаем:

Точка M лежит за точкой C, поэтому MA = MC + . Пусть MC = x:

Здесь MP BC и MQ AB. AC = + = .

Из MP BC (теорема Фалеса): AP : PB = AM : MC = : .

Из MQ AB: BQ : QC = AM : MC = : .

Прямая KPQ пересекает стороны AB, BC и продолжение AC. По теореме Менелая:

Пусть AK = x, тогда CK = x + :

Прямая ABC пересекает стороны NK, KM и продолжение стороны NM. По теореме Менелая:

NC : CK = , KB : BM = : , MA = :

Точка A лежит на продолжении NM за M, поэтому:

Пусть AC = k, CN = k, тогда AN = k. Точка D — середина AC, значит AD = DC = k, DN = DC + CN = k.

M — точка пересечения медиан, она лежит на медиане BD и делит её так, что BM : MD = : .

Прямая MN пересекает AB в точке F. Рассмотрим треугольник ABD и прямую FMN: она пересекает стороны AB (в F), BD (в M) и продолжение AD (в N). По теореме Менелая:

Рассмотрим треугольник KBC и прямую AL. Она пересекает сторону BK (в точке A, на продолжении), KC (в точке Q) и BC (в точке L). По теореме Менелая:

BA : AK = : , CL : LB = : :

Значит, QC : CK = : , и

Треугольники BKC и ABC имеют общую высоту из C, поэтому