В треугольнике ABC на стороне BC взята точка N… (геометрия)

№ Теорема Менелая

В треугольнике $A B C$ на стороне $B C$ взята точка $N$ так, что $N C = 3 B N$ . На продолжении стороны $A C$ за точку $A$ взята точка $M$ так, что $M A = A C$ . Прямая $M N$ пересекает сторону $A B$ в точке $F$ . Найдите отношение $\frac{B F}{F A}$ .

Решение

Прямая пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках , , . По теореме Менелая:

Здесь . Так как , то , значит .

💡 Почему так

Теорема Менелая: если прямая пересекает стороны треугольника или их продолжения, то произведение трёх отношений отрезков равно .

Ответ

№ Теорема Менелая

В треугольнике $A B C$ $A D$ – медиана, точка $O$ – середина медианы. Прямая $B O$ пересекает сторону $A C$ в точке $K$ . В каком отношении точка $K$ делит $A C$ , считая от точки $A$ ?

Решение

Рассмотрим треугольник и прямую , она проходит через на , через на и через на продолжении . По теореме Менелая:

, поэтому . — середина , поэтому .

Значит, .

💡 Почему так

Применяем теорему Менелая к треугольнику и секущей .

Ответ

№ Теорема Менелая

Найдите: $K N : N C$ . (На рисунке: $K$ лежит на $A B$ и $A K = K B$ (отмечены равные отрезки), $M$ лежит на $A C$ , $A M = 4$ , $M C = 6$ , $N$ — точка пересечения $B M$ и $K C$ .)

Решение

Рассмотрим треугольник и прямую . Она пересекает в точке (на продолжении), в точке , в точке . По теореме Менелая:

, поэтому . .

💡 Почему так

Теорема Менелая для треугольника и секущей .

Ответ

№ Теорема Менелая

Найдите: $A K : K F$ . (На рисунке: $F$ лежит на $B C$ , $B F = 3$ , $F C = 2$ ; $E$ лежит на $A C$ , $A E = 6$ , $E C = 2, 5$ ; $K$ — точка пересечения $A F$ и $B E$ .)

Решение

Рассмотрим треугольник и прямую . Она пересекает в точке , в точке (на продолжении), в точке . По теореме Менелая:

, поэтому . .

💡 Почему так

Теорема Менелая для треугольника и секущей .

Ответ

№ Теорема Менелая

На сторонах $A B$ и $B C$ треугольника $A B C$ взяты соответственно точки $M$ и $N$ так, что $A M : M B = 2 : 3$ , $B N : N C = 2 : 1$ . Отрезки $A N$ и $C M$ пересекаются в точке $O$ . Найдите отношение $C O : O M$ .

Решение

Пусть , , тогда и . .

💡 Почему так

Теорема Менелая для треугольника и секущей .

Ответ

Помогло?

В треугольнике ABC на стороне BC взята точка N так, что NC=3BN.…