Точки M, N и P лежат на прямой a. Точка A не… (геометрия)

№ Аксиомы стереометрии: прямая и точка вне её

Точки M, N и P лежат на прямой a. Точка A не лежит на этой прямой. Докажите, что точки A, M, N и P расположены в одной плоскости.

Решение

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Назовём её .
Прямая лежит в плоскости , поэтому все её точки , и тоже лежат в . Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в ней.
Точка лежит в по построению.
Значит, все четыре точки , , , лежат в плоскости .

💡 Почему так

Используется следствие из аксиом стереометрии: через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость.

Ответ

✓ dzmen.ru

Точки A, M, N, P лежат в одной плоскости: это плоскость, проходящая через прямую a и точку A. Что и требовалось доказать.

№ Сечение куба плоскостью через B, D и середину B₁C₁

ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб с ребром, равным a. а) Постройте сечение куба, проходящее через точки B, D, M, если M — середина B₁C₁; б) укажите вид четырёхугольника в сечении; в) Найдите периметр сечения.

Решение

а) Построение.

Точки и лежат в плоскости основания . Проводим отрезок .
Точки и лежат в грани . Проводим отрезок .
Плоскость сечения пересекает параллельные грани и по параллельным прямым. Поэтому в верхней грани проводим через прямую, параллельную . Она параллельна и проходит через середину , значит, пересекает в её середине .
Соединяем с (обе точки лежат в грани ).
Сечение — четырёхугольник .

б) Вид. , а и не параллельны. Значит, — трапеция. Из равенства прямоугольных треугольников и следует , поэтому трапеция равнобедренная.

в) Периметр.
— диагональ квадрата.
— средняя линия треугольника .
, и .

💡 Почему так

Плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым, поэтому в верхней грани сечение параллельно .

Ответ

✓ dzmen.ru

а) сечение — четырёхугольник , где — середина ;
б) равнобедренная трапеция;
в)

№ Сечение тетраэдра плоскостью через три точки на рёбрах

Построить сечение тетраэдра ДАВС, если точка K на ребре АС, M на ребре ДВ, на ребре ДС.

Решение

На фото у третьей точки не видно названия. Назовём её N, она лежит на ребре .

Построение:

Точки и лежат в грани . Проводим прямую и находим точку .
Точки и лежат в грани . Проводим прямую и находим точку .
Точки и лежат в грани . Проводим отрезок .
Точки и лежат в грани . Проводим отрезок .
Сечение — четырёхугольник , его стороны лежат в гранях , , , .

💡 Почему так

Если две точки лежат в одной грани, соединяем их. Если прямая в грани не имеет общей точки с нужным ребром, продолжаем её до пересечения с прямой, содержащей это ребро.

Ответ

✓ dzmen.ru

Сечение — четырёхугольник , где , .

Помогло?