Номер 10.46 ГДЗ Геометрия 10 класс, Мерзляк 2024, страница 123

Дано: куб с ребром , .

Построить: сечение через , перпендикулярное . Найти его площадь.

Решение:

Отметим середины рёбер соответственно. Соединим последовательно . Каждый отрезок соединяет середины двух сторон одной квадратной грани.

По теореме о средней линии треугольника , , . Противоположные стороны шестиугольника соответственно параллельны этим же трём направлениям: , , .

Диагонали основания и перпендикулярны. Кроме того, , поскольку . По теореме . , поэтому .

По ключевой задаче . . Докажем отдельно . Пусть — середина . В равнобедренном треугольнике имеем , поэтому медиана перпендикулярна . В треугольнике стороны равны как диагонали квадратных граней, поэтому . По теореме . , откуда .

Следовательно, все шесть построенных отрезков перпендикулярны . По теореме . плоскость перпендикулярна . Через каждую её точку все прямые, перпендикулярные , лежат в по задаче .. Поэтому последовательно .

На каждой из шести граней след плоскости — один из построенных отрезков. Значит, сечение — шестиугольник .

Все его стороны равны половине диагонали квадратной грани. По теореме Пифагора длина каждой стороны .

Проверим углы. В треугольнике имеем . По теореме . , поэтому . В прямоугольном треугольнике катет , а . Поэтому .

По теореме косинусов , следовательно, . Для каждой другой пары соседних сторон вычисление такое же: их концы имеют расстояние . Поэтому все внутренние углы равны °, и шестиугольник правильный.

Правильный шестиугольник разбивается отрезками из центра на шесть равносторонних треугольников со стороной . Высота каждого по теореме Пифагора равна . Тогда

Плоский вид сечения:

Искомое сечение — правильный шестиугольник указанной площади.