Постройте точки пересечения прямой MN с… (геометрия)

№ Точки пересечения прямой с плоскостями куба

Постройте точки пересечения прямой $M N$ с плоскостями $A B B_{1}$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ . (На рисунке куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , точка $M$ лежит на ребре $A D$ , точка $N$ лежит на ребре $D D_{1}$ .)

Решение

Точки и лежат в плоскости грани , значит, и вся прямая лежит в этой плоскости.

Плоскости и пересекаются по прямой . Прямая и прямая лежат в одной плоскости и не параллельны, поэтому продолжаем до пересечения с (за точку ). Получаем точку . Она лежит в плоскости , значит, .
Плоскости и пересекаются по прямой . Продолжаем до пересечения с прямой (за точку ). Получаем точку . Она лежит в плоскости , значит, .

💡 Почему так

Если прямая лежит в плоскости, то её точка пересечения с другой плоскостью лежит на линии пересечения этих двух плоскостей.

Ответ

— точка пересечения с плоскостью ; — точка пересечения с плоскостью .

№ Построение сечений куба

Постройте сечения, проходящие через указанные точки. (Первый куб: точки $M$ на ребре $B B_{1}$ , $N$ на ребре $C C_{1}$ , вершина $D$ . Второй куб: точка $M$ на ребре $A B$ , точка $N$ на ребре $A D$ , точка $P$ на ребре $D_{1} C_{1}$ .)

Решение

Первый куб: точки , , .

и лежат в грани . Проводим и продолжаем до пересечения с прямой : .
и лежат в плоскости основания. Проводим и находим .
и лежат в грани , соединяем .
и лежат в грани , соединяем .

Сечение — четырёхугольник .

Второй куб: точки , , .

и лежат в основании. Прямую продолжаем до пересечения с прямой : (за точку ).
и лежат в грани . Проводим и находим .
и лежат в грани , соединяем . Продолжаем до пересечения с прямой : (ниже ).
и лежат в грани . Прямая пересекает ребро в точке .
Основания параллельны, поэтому плоскость сечения пересекает верхнее основание по прямой, параллельной . Проводим через прямую, параллельную ; она пересекает в точке .
Соединяем и в грани .

Сечение — шестиугольник .

💡 Почему так

Чтобы построить сечение, находят следы секущей плоскости на плоскостях граней. Для этого соединяют точки, лежащие в одной грани, и продолжают прямые до пересечения с рёбрами или их продолжениями.

Ответ

Первый куб: сечение — четырёхугольник , где — точка на ребре (на прямой , ).
Второй куб: сечение — шестиугольник , где , , .

Помогло?

Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями ABB₁ и A₁B₁C₁. (На рисунке…