Постройте точки пересечения прямой MN с… (геометрия)

№ Точки пересечения прямой с плоскостями граней куба

Постройте точки пересечения прямой $M N$ с плоскостями $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Решение

Точка лежит на ребре , точка лежит на ребре . Обе точки лежат в плоскости грани , поэтому и вся прямая лежит в этой плоскости.

Плоскость пересекает плоскость по прямой . Продолжаем и до пересечения, получаем точку . Так как ближе к , чем к , точка лежит на продолжении за точкой . Точка принадлежит плоскости , значит, это и есть точка пересечения с плоскостью .
Плоскость пересекает плоскость по прямой . Продолжаем и до пересечения, получаем точку . Она лежит на продолжении за точкой . Точка принадлежит плоскости , значит, это точка пересечения с этой плоскостью.

💡 Почему так

Если прямая лежит в плоскости грани, то её точка пересечения с другой плоскостью лежит на линии пересечения этих плоскостей. Здесь это прямые и .

Ответ

— точка пересечения с плоскостью ; — точка пересечения с плоскостью .

№ Построение сечений куба

Постройте сечения, проходящие через указанные точки.
(Первый куб: точки $A$ , $C$ и $M$ , где $M$ лежит на ребре $C_{1} D_{1}$ . Второй куб: точки $P$ , $M$ , $N$ , где $P$ лежит на ребре $A_{1} B_{1}$ , $M$ на ребре $A D$ , $N$ на ребре $C D$ .)

Решение

Первый куб: сечение через , , .

Точки и лежат в плоскости основания, соединяем их: (на чертеже пунктиром, так как нижняя грань не видна).
Верхняя грань параллельна нижней, поэтому плоскость сечения пересекает её по прямой, параллельной , то есть параллельной . Проводим через прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке .
Соединяем с (грань ) и с (грань ).

Сечение — трапеция ().

Второй куб: сечение через , , .

и лежат в плоскости нижней грани, соединяем их: .
и не лежат в одной грани. Построим остальные точки сечения. Плоскость сечения пересекает параллельные грани по параллельным прямым.
Через в верхней грани проводим прямую, параллельную (то есть параллельную и ... в плоскости верхней грани это параллель ). Она пересекает ребро в точке .
Через в правой грани проводим прямую, параллельную следу на противоположной грани: плоскость сечения пересекает правую грань и левую грань по параллельным прямым. Находим точку на ребре .
Аналогично на ребре получаем точку . Соединяем с (левая грань), с (передняя грань), с (правая грань), с (задняя грань).

Для проверки: при ребре куба и серединах , , плоскость сечения задаётся уравнением . Она пересекает ребро в его середине , ребро в его середине и ребро в его середине .

Сечение — шестиугольник .

💡 Почему так

Плоскость сечения пересекает параллельные грани куба по параллельным отрезкам. На этом основано построение точек сечения на рёбрах.

Ответ

Первый куб: сечение — трапеция , где лежит на и .
Второй куб: сечение — шестиугольник , где , , .

Помогло?

Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями ABC и A₁B₁C₁.