Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью… (геометрия)

№ Сечение тетраэдра плоскостью через три точки

Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через точки D, N, K. (На рисунке точка N лежит на ребре AC, точка K лежит на ребре AB.)

Решение

Все три точки лежат на гранях или рёбрах тетраэдра, поэтому соседние точки, лежащие в одной грани, соединяем отрезками.

D и N лежат в грани ADC (N на ребре AC). Проводим отрезок DN.
N и K лежат в грани ABC (N на AC, K на AB). Проводим отрезок NK.
K и D лежат в грани ABD (K на AB). Проводим отрезок KD.

Получился треугольник DNK. Его стороны лежат в гранях ADC, ABC, ABD.

💡 Почему так

Если две точки сечения лежат в одной грани, то сторона сечения — отрезок, соединяющий эти точки.

Ответ

Сечение — треугольник DNK.

№ Сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью через три точки

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки C, N, K. (На рисунке точка K лежит на ребре A₁B₁, точка N — на ребре B₁C₁.)

Решение

K и N лежат в плоскости верхнего основания. Проводим отрезок KN.
N и C лежат в грани BB₁C₁C. Проводим отрезок NC.
Плоскости оснований параллельны, поэтому секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. В нижнем основании через точку C проводим прямую, параллельную KN. Она пересекает ребро AB в точке M.
M и K лежат в грани AA₁B₁B. Проводим отрезок MK.

Сечение — четырёхугольник KNCM, у него KN MC (трапеция).

💡 Почему так

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны. Поэтому сторона сечения в нижнем основании параллельна KN. На рисунке N ближе к C₁, чем к B₁, поэтому прямая через C пересекает ребро AB (а не AD).

Ответ

Сечение — трапеция KNCM, где M — точка на ребре AB, для которой CM KN.

№ Сечение наклонного параллелепипеда плоскостью через три точки

Постройте сечение наклонного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки B, D₁, K. (На рисунке точка K лежит на ребре AD.)

Решение

B и K лежат в плоскости основания ABCD. Проводим отрезок BK.
K и D₁ лежат в грани ADD₁A₁. Проводим отрезок KD₁.
Плоскости оснований параллельны. Значит, секущая плоскость пересекает верхнее основание по прямой, проходящей через D₁ параллельно BK. Проводим её, она пересекает ребро B₁C₁ в точке L.
L и B лежат в грани BCC₁B₁. Проводим отрезок LB.

Сечение — четырёхугольник BKD₁L. У него BK D₁L, а так как грани ADD₁A₁ и BCC₁B₁ параллельны, то и KD₁ BL. Значит, BKD₁L — параллелограмм.

💡 Почему так

Параллельные плоскости (основания) пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым. Это позволяет найти точку L на верхнем основании.

Ответ

Сечение — параллелограмм BKD₁L, где L — точка на ребре B₁C₁, для которой D₁L BK (при этом B₁L = KD).

Помогло?

Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через точки D, N, K. (На…