Построить сечение плоскостью DMC. (Тетраэдр DABC, точка M лежит на ребре AB.)
- Точки D и M лежат в грани DAB, соединяем их: отрезок DM — сторона сечения в этой грани.
- Точки M и C лежат в грани ABC, соединяем их: отрезок MC — сторона сечения в основании.
- Точки C и D лежат в грани DAC, соединяем их: отрезок CD — сторона сечения в этой грани.
- Треугольник DMC — искомое сечение.
Сечение — треугольник DMC.
Построить сечение плоскостью NPO. (Тетраэдр DABC; N лежит на ребре DA, P — на ребре DC, O — на ребре AB.)
- Точки N и P лежат в грани DAC. Проводим прямую NP до пересечения с прямой AC в точке X.
- Точки X и O лежат в плоскости основания ABC. Проводим прямую XO; она пересекает ребро BC в точке Y.
- Точки P и Y лежат в грани DBC, соединяем их: PY.
- Точки O и N лежат в грани DAB, соединяем их: ON.
- Четырёхугольник NPYO — искомое сечение.
Сечение — четырёхугольник NPYO, где X = NP ∩ AC, Y = XO ∩ BC.
Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точку F параллельно грани DAB, если точка F лежит на ребре DC.
Секущая плоскость параллельна плоскости DAB, поэтому пересекает другие грани по прямым, параллельным рёбрам грани DAB.
- В грани DAC проводим FK
DA, K лежит на ребре AC. - В грани DBC проводим FL
DB, L лежит на ребре BC. - Соединяем K и L: KL
AB (лежит в основании). - Треугольник FKL — искомое сечение; он подобен треугольнику DAB.
Если плоскость параллельна грани, то она пересекает пересекающиеся с этой гранью плоскости по прямым, параллельным её сторонам.
Сечение — треугольник FKL, где FK
Построить сечение плоскостью A₁C₁D. (Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.)
Все три точки A₁, C₁, D — вершины параллелепипеда.
- A₁ и C₁ лежат в верхней грани, соединяем: A₁C₁.
- A₁ и D лежат в грани AA₁D₁D, соединяем: A₁D (диагональ грани).
- C₁ и D лежат в грани DD₁C₁C, соединяем: C₁D (диагональ грани).
- Треугольник A₁C₁D — искомое сечение.
Сечение — треугольник A₁C₁D.
Построить сечение плоскостью MAD. (Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, точка M лежит на ребре BB₁.)
- Точки A и M лежат в грани ABB₁A₁, соединяем: AM.
- Плоскость сечения содержит AD, а AD
BC. Значит, AD параллельна грани BCC₁B₁, и плоскость пересекает её по прямой, параллельной AD. Проводим через M прямую MN BC, N лежит на ребре CC₁. - Точки N и D лежат в грани DCC₁D₁, соединяем: ND.
- Четырёхугольник AMND — искомое сечение (параллелограмм, так как MN
AD и MN = AD).
Если прямая плоскости параллельна другой плоскости, то линия пересечения этих плоскостей параллельна этой прямой.
Сечение — параллелограмм AMND, где MN
Построить сечение плоскостью A₁PK. (Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, точка P лежит на ребре B₁C₁, точка K — на ребре CC₁.)
- A₁ и P лежат в верхней грани, соединяем: A₁P. Эта прямая пересекает прямую D₁C₁ в точке X за вершиной C₁.
- P и K лежат в грани BCC₁B₁, соединяем: PK.
- X и K лежат в грани DCC₁D₁. Прямая XK пересекает ребро DC в точке Z. Соединяем K и Z.
- Нижнее основание параллельно верхнему, поэтому плоскость пересекает его по прямой, параллельной A₁P. Проводим через Z прямую ZW
A₁P, W лежит на ребре AD. - W и A₁ лежат в грани AA₁D₁D, соединяем: WA₁.
- Пятиугольник A₁PKZW — искомое сечение.
Параллельные плоскости (верхнее и нижнее основания) пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым.
Сечение — пятиугольник A₁PKZW, где Z = XK ∩ DC, W лежит на AD, ZW
Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точку F параллельно грани ABCD, если точка F лежит на ребре AA₁.
Плоскость параллельна основанию ABCD, поэтому пересекает боковые грани по прямым, параллельным сторонам основания.
- В грани AA₁B₁B проводим FG
AB, G лежит на ребре BB₁. - В грани AA₁D₁D проводим FI
AD, I лежит на ребре DD₁. - В грани BB₁C₁C проводим GH
BC, H лежит на ребре CC₁. - Соединяем I и H: IH
DC. - Четырёхугольник FGHI — искомое сечение; он равен основанию ABCD.
Сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной основанию, равно основанию, так как отрезки между параллельными плоскостями параллельны и равны.
Сечение — параллелограмм FGHI, равный ABCD, где FG
