Рассмотрим прямоугольный параллелепипед… (геометрия)

№ Сечение параллелепипеда плоскостью через три точки

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Построить сечение, проходящее через точки M, N, L. (M лежит на ребре $A A_{1}$ , L — на ребре $A D$ , N — на ребре $B_{1} C_{1}$ .)

Решение

Построение:

Прямая и прямая лежат в грани . Продолжаем до пересечения с в точке X.
X и N лежат в плоскости верхней грани. Прямая пересекает ребро в точке P.
Соединяем P и M (грань ). Прямая пересекает прямую в точке Z.
Z и L лежат в плоскости нижней грани. Прямая пересекает ребро в точке K.
Прямая пересекает прямую в точке Y. Прямая (грань ) пересекает ребро в точке Q.
Соединяем Q и N (грань ).

Сечение — шестиугольник .

💡 Почему так

Сечение строят по следам: если две точки лежат в одной грани, через них проводят прямую. Её пересечения с рёбрами и с продолжениями рёбер дают новые точки сечения.

Ответ

Сечение — шестиугольник , где P ∈ , K ∈ , Q ∈ .

№ Сечение тетраэдра плоскостью, параллельной основанию

Построить сечение плоскостью, проходящей через точку M, параллельно основанию ABC. (Тетраэдр DABC, M лежит на грани DAB.)

Решение

Построение:

В грани проводим через M прямую, параллельную . Она пересекает в точке и в точке .
В грани проводим через прямую, параллельную . Она пересекает в точке .
Соединяем и .

Треугольник — искомое сечение.

💡 Почему так

Если плоскость параллельна основанию, она пересекает боковые грани по прямым, параллельным сторонам основания. Поэтому , , и по признаку параллельности плоскостей .

Ответ

Сечение — треугольник , где (проходит через M), , .

№ Сечение куба по трём точкам

Построить сечение по заданным точкам. (Куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , M лежит на ребре $A A_{1}$ , N — на ребре $D_{1} C_{1}$ , P — на ребре $C C_{1}$ .)

Решение

Построение:

N и P лежат в грани . Прямая пересекает прямую в точке Y и прямую в точке Z.
M и Y лежат в грани . Прямая пересекает ребро в точке T и прямую в точке U.
U и Z лежат в плоскости нижней грани. Прямая пересекает ребро в точке R и ребро в точке S.
Соединяем последовательно .

Сечение — шестиугольник .

💡 Почему так

Две точки сечения в одной грани соединяем отрезком. Пересечение прямых сечения с плоскостями граней (на продолжениях рёбер) даёт вспомогательные точки Y, Z, U, а через них находим остальные вершины.

Ответ

Сечение — шестиугольник , где T ∈ , S ∈ , R ∈ .

Помогло?

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Построить сечение…