E₂ ∈ ABC. Построить сечение тетраэдра DABC… (геометрия)

№ Сечение тетраэдра плоскостью через три точки

$E_{2} \in A B C$ . Построить сечение тетраэдра $D A B C$ плоскостью, проходящей через точки $E$ , $E_{1}$ , $E_{2}$ (точка $E$ лежит на ребре $D A$ , $E_{1}$ — на ребре $D C$ , $E_{2}$ — внутри грани $A B C$ ).

Решение

Условие на фото не содержит фразы «постройте сечение» для этого номера. Я считаю, что нужно построить сечение плоскостью .

Шаги построения:

Точки и лежат в грани . Проводим прямую и продолжаем её до пересечения с прямой (она тоже лежит в грани ). Получаем точку , она лежит за точкой .
Точки и лежат в плоскости основания и в плоскости сечения. Проводим прямую .
Прямая пересекает ребро в точке и ребро в точке .
Соединяем отрезками точки, лежащие в одной грани:

— в грани ;
— в грани ;
— в грани ;
— в грани .

— искомое сечение.

💡 Почему так

Если две точки плоскости сечения лежат в одной грани, то прямая через них лежит и в грани, и в плоскости сечения. Точка пересечения такой прямой с прямой, лежащей в другой грани, тоже принадлежит плоскости сечения. Так находят следы плоскости на гранях.

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , , .

№ Сечение параллелепипеда плоскостью через три точки

Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через $F$ , $F_{1}$ , $F_{2}$ и т.д. (точка $F$ лежит на ребре $A K$ , $F_{1}$ — на ребре $L M$ , $F_{2}$ — на ребре $B L$ , $F_{3}$ — на ребре $N M$ ).

Решение

Плоскость сечения задаётся тремя точками , , . Точка в этой плоскости не лежит, поэтому в построении она не участвует.

Шаги построения:

Точки и лежат в задней грани . Проводим прямую и продолжаем её до пересечения с прямой . Получаем точку (левее точки ).
Точки и лежат в плоскости нижнего основания и в плоскости сечения. Проводим прямую . Она пересекает ребро в точке .
Соединяем точки, лежащие в одной грани:

— в грани ;
— в грани ;
— в грани ;
— в грани .

Сечение — четырёхугольник . Рёбра, лежащие на невидимых гранях (задней, левой, нижней), показаны пунктиром.

💡 Почему так

Прямая лежит и в плоскости сечения, и в плоскости задней грани. Точка её пересечения с прямой лежит в плоскости основания, поэтому её можно соединить с и найти след плоскости на основании.

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , .

№ Сечение параллелепипеда плоскостью через три точки

Решение

Расположение точек такое же, как в предыдущем номере: , , . Плоскость задаётся точками , , . Точка в ней не лежит, поэтому в построении не участвует.

Шаги построения:

Прямая лежит в задней грани . Продолжаем её до пересечения с прямой и получаем точку .
Точки и лежат в плоскости нижнего основания. Проводим прямую . Она пересекает ребро в точке .
Соединяем с , с , с и с .

Сечение — четырёхугольник . Стороны на невидимых гранях проводим пунктиром.

💡 Почему так

Чтобы найти след плоскости на нижнем основании, нужны две его точки. Одна из них — , вторая — точка пересечения прямой с прямой .

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , .

№ Сечение параллелепипеда плоскостью через три точки

Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через $F$ , $F_{1}$ , $F_{2}$ и т.д. (точка $F_{1}$ лежит на ребре $A D$ у вершины $A$ , $F$ — на ребре $N K$ , $F_{2}$ — на ребре $L M$ у вершины $L$ ).

Решение

Шаги построения:

Точки и лежат в левой грани . Проводим отрезок . Он пунктирный, так как левая грань невидима.
Точки и лежат в нижнем основании . Проводим отрезок (пунктиром).
Точки и лежат в разных, не соседних гранях. Поэтому строим сечение с помощью параллельности противоположных граней: плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым.
Левая грань параллельна правой грани . В левой грани сечение идёт по . В правой грани проводим через прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке . Отрезок — след плоскости на правой грани.
Нижнее основание параллельно верхнему. В нижнем основании сечение идёт по . В верхнем основании проводим через прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке . Отрезок — след плоскости на верхней грани.
Точки и лежат в задней грани . Соединяем их отрезком (пунктиром).

Сечение — пятиугольник .

💡 Почему так

Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Это позволяет достроить сечение, не продолжая прямые до точек пересечения.

Ответ

Сечение — пятиугольник , где (), ().

Помогло?

E₂ ∈ ABC. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки E,…