Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁… (геометрия)

№ Сечение параллелепипеда плоскостью через три точки

⚠️

Подпись «Построй сечение» без номера, поэтому решены оба полностью видимых задания: и . Задания , и обрезаны краем фото, их не видно, и они не решены. Чтобы их решить, переснимите их ближе и крупнее, по – задания на фото.

Построить сечение параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через точки $M$ , $N$ , $P$ ( $M$ лежит на ребре $A A_{1}$ , $N$ — на ребре $C C_{1}$ , $P$ — вершина верхнего основания, из которой идёт пунктирное ребро вниз к $B$ , то есть $P = B_{1}$ ).

Решение

Точки и лежат в грани , поэтому — сторона сечения. Точки и лежат в грани , поэтому — сторона сечения.

Шаги построения:

Проводим и .
Прямая лежит в плоскости грани . Продолжаем её до пересечения с прямой и получаем точку . Точка лежит в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания.
Прямая лежит в плоскости грани . Продолжаем её до пересечения с прямой и получаем точку . Точка тоже лежит в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания.
Прямая — след секущей плоскости на плоскости основания .
Прямая пересекает ребро в точке и ребро в точке .
Точки и лежат в грани , поэтому проводим . Точки и лежат в грани , поэтому проводим . Отрезок лежит в основании.
Пятиугольник — искомое сечение.

💡 Почему так

Если две точки плоскости лежат в одной грани, то отрезок между ними — сторона сечения. Остальные вершины находят с помощью следа секущей плоскости на плоскости основания: это прямая через две точки пересечения продолжений сторон сечения с плоскостью основания.

Ответ

Сечение — пятиугольник , где , .

№ Сечение параллелепипеда плоскостью через три точки

Построить сечение параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через точки $M$ , $N$ , $P$ ( $M$ лежит на ребре $A B$ , $N$ — на ребре $B B_{1}$ , $P$ — на ребре $B_{1} C_{1}$ ).

Решение

Шаги построения:

Точки , лежат в грани , поэтому проводим . Точки , лежат в грани , поэтому проводим .
Грань параллельна грани . Секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым, поэтому через проводим прямую, параллельную (следу в основании, который построим в п. ). Она пересекает ребро в точке .
Продолжаем до пересечения с прямой (точка ). Прямая — след секущей плоскости в основании. Она пересекает ребро в точке .
Точки и лежат в грани . Грань параллельна грани , поэтому , где — точка на ребре . Проводим . Точки и лежат в грани , проводим .
Шестиугольник — искомое сечение. Его стороны , и невидимы, поэтому они пунктирные.

💡 Почему так

Если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, то линии пересечения параллельны. Это позволяет достроить сечение, когда нужные точки лежат на противоположных гранях.

Ответ

Сечение — шестиугольник , где , , .

Помогло?

Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через…