№ 9 Построение: (Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через…

1. Точки и лежат в грани . Проведём отрезок .
2. Точка лежит на ребре , точка — на ребре . Они обе лежат в грани . Соединим их пунктирным отрезком .
3. Прямые и лежат в одной плоскости . Продолжим их до пересечения в некоторой точке .
4. Точка лежит на прямой , то есть в плоскости основания . Точка также лежит в плоскости (на ребре ).
5. Соединим прямую в плоскости основания . Она пересекает ребро в точке .
6. Соединим точки и (отрезок лежит в основании , невидим, проводим пунктиром).
7. Точки и лежат в грани . Проведём отрезок .
8. Четырёхугольник — искомое сечение.

Обозначим точку на ребре как .

1. Точки и (совпадающая с вершиной на ребре ) лежат в плоскости правой боковой грани . Соединяем их отрезком .
2. Точка лежит в плоскости нижнего основания , точка также лежит на ребре нижнего основания. Соединяем точки и пунктирным отрезком в плоскости основания.
3. Прямая пересекает ребро (или его продолжение) в точке .
4. Через точку пересечения в плоскости передней грани соединяем с точкой , получаем след сечения на передней грани .
5. Если пересекает ребро в точке , соединяем с . Сечение — треугольник (или четырёхугольник при пересечении других граней).

1. Точки и лежат в грани . Соединяем их отрезком .
2. Точки и (лежащая на ) лежат в плоскости задней грани . Соединяем их отрезком .
3. Так как противоположные грани параллелепипеда параллельны:
   • Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым.
   • Из точки в плоскости верхнего основания проводим прямую, параллельную прямой пересечения с нижним основанием, или используем точку пересечения прямой с ребром /прямой , чтобы соединить её с и найти след на верхней грани.
   • Аналогично достраиваются следы на остальных гранях до замкнутого многоугольника.

1. Точки и лежат в задней грани . Соединяем их отрезком .
2. Грань параллельна передней грани . Следовательно, секущая плоскость пересекает грань по прямой, параллельной .
3. Через точку проводим прямую, параллельную , до пересечения с рёбрами передней грани (например, с в точке и в точке ).
4. Соединяем соответствующие точки на смежных гранях ( с на левой грани, с на правой грани).
5. Полученный четырёхугольник является искомым сечением.

Прямая лежит в плоскости основания . В плоскости верхнего основания прямая .

1. Поскольку плоскость сечения параллельна прямой , она пересекает любую плоскость, содержащую прямую, параллельную , по прямой, параллельной .
2. В плоскости верхней грани проводим через точку прямую, параллельную (так как ). Эта прямая пересекает ребро в точке .
3. Соединяем точки сечения на боковых гранях: находим прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью передней грани или левой грани . Через точку проводим след сечения, параллельный соответствующим линиям, либо продолжаем до пересечения с продолжениями рёбер и , и соединяем полученные следы с точкой .
4. Получаем замкнутый многоугольник сечения.

1. (точки , ):

   • Так как сечение параллельно , в грани через проводим отрезок ().
   • В грани через проводим отрезок ().
   • Соединяем с (на грани ) и с (на грани ).
   • Сечение — прямоугольник .

2. (точки , ):

   • В верхней грани через точку проводим прямую, параллельную диагонали , до пересечения с в точке .
   • Прямая лежит в плоскости передней грани .
   • В плоскости основания через точку проводим прямую, параллельную диагонали (так как ), до пересечения с в точке .
   • Соединяем с на грани .
   • Сечение — трапеция .

3. (точки , в основании):

   • Прямая лежит в правой грани. Грань параллельна грани , поэтому след на левой грани параллелен , то есть параллелен .
   • Через точку на грани проводим прямую параллельно до пересечения с рёбрами и/или .
   • Полученный след в основании соединяем с точкой и продолжаем до пересечения с рёбрами основания.
   • Замыкаем сечение на остальных гранях.

4. (точки , ):

   • Точки и лежат в грани , соединяем их отрезком .
   • Прямая параллельна прямой (в передней грани).
   • Через точку на передней грани проводим отрезок, параллельный , до пересечения с ребром в точке .
   • Через точку на верхней грани проводим прямую, параллельную следу на нижней грани, и замыкаем контур.

5. (точки , ):

   • Точки и лежат в передней грани , соединяем их отрезком .
   • Проводим через прямую плоскость, параллельную диагонали куба : находим след секущей плоскости на верхнем и нижнем основаниях, используя диагональные сечения куба, параллельные .

6. (точки , ):

   • Плоскость сечения должна быть параллельна главной диагонали .
   • Находим следы секущей плоскости на гранях, проводя прямые через точки и параллельно проекциям прямой на соответствующие плоскости, учитывая вспомогательные параллельные прямые в параллельных плоскостях.