Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через заданные точки: вершины A и B нижнего основания (передней грани) и точку M на верхнем ребре B₁C₁, уходящем вглубь.
- Точки A и B лежат в плоскости передней грани, поэтому AB — след секущей плоскости на этой грани.
- Так как
, а лежит в плоскости верхней грани, секущая плоскость пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной . - Проводим в верхней грани через M прямую, параллельную
. Она пересекает ребро в точке N, при этом . - Соединяем N с A (левая грань) и B с M (правая грань).
Получаем сечение ABMN.
Если плоскость содержит прямую, параллельную другой плоскости, то она пересекает эту плоскость по прямой, параллельной данной. Поэтому в сечении получается трапеция, а у прямого параллелепипеда — прямоугольник.
Сечение — четырёхугольник ABMN, где N лежит на ребре
Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через заданные точки: вершину A (нижняя передняя левая), вершину D₁ (верхняя задняя левая) и точку K на нижнем правом ребре BC, уходящем вглубь.
- A и
лежат в левой грани, значит — след плоскости на этой грани. A и K лежат в нижнем основании, значит AK — след на основании. - Диагональ
параллельна диагонали правой грани . - Плоскость содержит
, поэтому правую грань она пересекает по прямой, параллельной . Проводим через K прямую , L лежит на ребре . - Точки L и
лежат в задней грани , соединяем их.
Получаем сечение
Параллельные грани куба рассекаются плоскостью по параллельным отрезкам. Здесь
Сечение — параллелограмм
Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через заданные точки: вершину D₁ (верхняя задняя левая), точку M на верхнем правом ребре B₁C₁ и точку P на нижнем левом ребре AD.
- Точки
и M лежат в верхней грани. Проводим . - Точки P и
лежат в левой грани. Проводим . - Точки P и M не лежат в одной грани. Находим след плоскости на нижнем основании: он параллелен
, так как верхнее и нижнее основания параллельны. Проводим через P прямую , Q лежит на ребре AB. - Через M и Q проводим след на передней и правой гранях. Плоскость пересекает ребро
в точке R: на правой грани проводим MR, на передней грани проводим RQ.
Получаем пятиугольник
Следы секущей плоскости на параллельных гранях параллельны, поэтому след на нижнем основании строим параллельно
Сечение — пятиугольник
Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки: K — середина ребра DA (равные отрезки отмечены одной чёрточкой), M — середина ребра DC (равные отрезки отмечены двумя чёрточками), N — точка на ребре BC.
- K и M — середины ребер DA и DC, поэтому KM — средняя линия треугольника ADC,
. - Прямая KM параллельна прямой AC, лежащей в плоскости основания, значит секущая плоскость пересекает основание по прямой, параллельной AC.
- В основании проводим через N прямую
, L лежит на ребре AB, при этом . - Соединяем K с L (грань DAB) и M с N (грань DBC).
Получаем сечение KMNL.
Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то она пересекает её по прямой, параллельной данной. Поэтому в сечении
Сечение — трапеция KMNL, где
Постройте сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки K (на ребре DA, равные отрезки отмечены чёрточками) и M (на ребре DC) параллельно ребру AB.
- K и M лежат в грани DAC, соединяем их: KM (отрезок на грани DAC).
- Плоскость параллельна AB, а AB лежит в плоскости грани DAB, поэтому секущая плоскость пересекает грань DAB по прямой, параллельной AB.
- В грани DAB проводим через K прямую
, P лежит на ребре DB. Так как K — середина DA, то P — середина DB. - Соединяем P с M в грани DBC.
Получаем треугольник KPM.
Плоскость, параллельная ребру AB, пересекает грани, содержащие AB, по прямым, параллельным AB. Поэтому в грани DAB след — прямая
Сечение — треугольник KPM, где P — середина ребра DB,
Постройте сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через заданные точки: K на ребре DA (близко к A), M на ребре DC, N на ребре BC (близко к B).
- K и M лежат в грани DAC. Проводим прямую KM до пересечения с прямой AC в точке X (X лежит на продолжении CA за точку A).
- Точки X и N лежат в плоскости основания ABC. Проводим прямую XN, она пересекает ребро AB в точке L.
- Соединяем K с L в грани DAB. M с N соединены в грани DBC.
- Стороны сечения: KM, MN, NL, LK.
Получаем четырёхугольник KMNL.
Если две точки секущей плоскости лежат в одной грани, то прямая через них — след плоскости на этой грани. Точка пересечения следа с ребром или с его продолжением лежит и в плоскости основания, это позволяет достроить сечение.
Сечение — четырёхугольник KMNL, где L — точка пересечения прямой XN с ребром AB, а
