Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки (три точки отмечены на трёх рёбрах, выходящих из верхней вершины).
На рисунке вершин нет, поэтому обозначим их сами: D — верхняя вершина, A — левая, C — правая, B — передняя. Точки: M на ребре DA, N на ребре DC, P на ребре DB.
- Точки M и N лежат в грани DAC, поэтому проводим отрезок MN.
- Точки M и P лежат в грани DAB, проводим отрезок MP.
- Точки N и P лежат в грани DBC, проводим отрезок NP.
Каждая сторона треугольника MNP лежит в своей грани, поэтому сечение построено.
Если две точки сечения лежат в одной грани, то отрезок между ними — след секущей плоскости на этой грани.
Сечение — треугольник MNP.
Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки (одна точка на левом боковом ребре, одна на правом боковом ребре, одна на нижнем переднем ребре основания).
Обозначим вершины: D — верхняя, A — левая, C — правая, B — передняя. Точки: M на DA, N на DC, P на BC.
- M и N лежат в грани DAC. Проводим прямую MN и продолжаем её до пересечения с прямой AC. Получаем точку Q = MN ∩ AC.
- Q лежит в плоскости основания ABC, и P тоже лежит в ней. Проводим прямую QP, она пересекает ребро AB в точке R.
- Соединяем: MN лежит в грани DAC, NP в грани DBC, PR в основании ABC, RM в грани DAB.
Получаем четырёхугольник MNPR.
Прямая сечения в грани находит точку на плоскости основания (след), а затем след в основании даёт точки на остальных рёбрах.
Сечение — четырёхугольник MNPR (R лежит на AB).
K, F, E — середины сторон DC, AB, BC соответственно. Постройте сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки K, F, E.
- В треугольнике DBC отрезок KE соединяет середины сторон DC и BC, поэтому KE — средняя линия и KE
DB. - Плоскость сечения содержит KE, значит, она параллельна DB. В грани DAB проводим через F прямую, параллельную DB. Так как F — середина AB, она пересекает AD в её середине M.
- Соединяем M с K. MK — средняя линия треугольника DAC, поэтому MK
AC. Кроме того, FE — средняя линия треугольника ABC, поэтому FE AC. - Значит, MK
FE, и MKEF — параллелограмм.
Средняя линия треугольника параллельна основанию. Если плоскость содержит прямую, параллельную другой прямой, то она параллельна этой прямой.
Сечение — параллелограмм MKEF, где M — середина AD.
Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки (одна точка на правом боковом ребре, одна на заднем ребре основания возле левой вершины, одна на переднем боковом ребре возле нижней вершины).
Обозначим вершины: D — верхняя, A — левая, C — правая, B — передняя. Точки: M на DC, N на AC (задний край основания), P на DB.
- M и N лежат в грани DAC. Проводим прямую MN и продолжаем её до пересечения с прямой DA. Получаем точку X, она лежит за вершиной A.
- X и P лежат в грани DAB. Проводим прямую XP, она пересекает ребро AB в точке Y.
- Соединяем: NM лежит в грани DAC, MP в грани DBC, PY в грани DAB, YN в основании ABC.
Получаем четырёхугольник NMPY.
Точку на третьем ребре находим, продолжая прямую в одной грани до пересечения с ребром другой грани.
Сечение — четырёхугольник NMPY (Y лежит на AB).
F ∈ (ABC). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K, F, E (K лежит на ребре DA, E на ребре DC, F внутри грани ABC).
- K и E лежат в грани DAC. Проводим прямую KE и продолжаем её до пересечения с прямой AC. Получаем точку Q за вершиной C.
- Q и F лежат в плоскости ABC. Проводим прямую QF. Она пересекает ребро BC в точке S и ребро AB в точке R.
- Соединяем: KE лежит в грани DAC, ES в грани DBC, SR в основании ABC, RK в грани DAB.
Получаем четырёхугольник KESR.
Прямая в плоскости основания, проведённая через Q и F, даёт точки пересечения секущей плоскости с рёбрами основания.
Сечение — четырёхугольник KESR (S на BC, R на AB).
F ∈ (ADC), E ∈ (ABC). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K, F, E (K лежит на ребре DA, F внутри грани ADC, E внутри грани ABC).
- K и F лежат в грани ADC. Проводим прямую KF. Она пересекает ребро DC в точке L, а прямую AC в точке P за вершиной C.
- P и E лежат в плоскости ABC. Проводим прямую PE. Она пересекает ребро BC в точке S и ребро AB в точке R.
- Соединяем: KL лежит в грани DAC, LS в грани DBC, SR в основании ABC, RK в грани DAB.
Получаем четырёхугольник KLSR.
Сначала прямая через две точки одной грани даёт точку на плоскости основания, затем прямая через эту точку и точку основания даёт точки на его рёбрах.
Сечение — четырёхугольник KLSR (L на DC, S на BC, R на AB).
