Маша нарисовала треугольник PQR и провела в нём… (геометрия)

№ Биссектрисы и равные треугольники

Маша нарисовала треугольник $P QR$ и провела в нём биссектрису $P M$ . В каждом из треугольников $QP M$ и $R P M$ она провела ещё по одной биссектрисе, получив тем самым четыре треугольника. Сколько пар равных треугольников могло получиться у Маши? Если равных треугольников несколько, надо учитывать все возможные пары, образуемые ими. В ответе укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Решение

Четыре треугольника делятся на классы равных. Пар соответствуют разбиениям на классы размеров , , , , .

пар. Если — произвольный разносторонний треугольник и биссектрисы проведены «как получится», равных треугольников нет.

пара. Пусть и в проведена биссектриса из . Она является и медианой, и высотой, поэтому делит на два равных треугольника. В биссектрису проводим так, чтобы равных не получилось.

пары. Пусть . Тогда — высота и медиана, и . Проводим в них симметричные биссектрисы. Получаем две пары равных треугольников.

пар. Пусть — прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом . Тогда , и , — равнобедренные прямоугольные треугольники. Проведём биссектрисы из вершины . Все четыре треугольника равны, а это пар.

пары невозможны: три равных треугольника означают, что один из треугольников , разделён на два равных, а в другом есть часть, равная им. Такая часть заставляет и второй треугольник делиться на две равные части, то есть равными оказываются все четыре.

💡 Почему так

Биссектриса делит треугольник на два равных только тогда, когда он равнобедренный и биссектриса проведена из вершины при основании равных сторон, то есть из вершины, где сходятся равные стороны.

Ответ

✓ dzmen.ru

, , ,

Помогло?

Маша нарисовала треугольник PQR и провела в нём биссектрису PM. В каждом…