Маша нарисовала треугольник MNP и провела в нём биссектрису PK. В каждом…

Чертёж: треугольник , точка на , отрезок и по одной медиане в и .

Возможные группы равных треугольников. Из четырёх треугольников равные образуют группы. Число пар в зависимости от групп:

• все разные — пар;
• одна пара — ;
• две пары — ;
• три равных и один другой — ;
• все четыре равны — .

Значений и получиться не может.

Когда две половинки одного треугольника равны. Медиана делит треугольник на две части равной площади. Эти части равны, только если треугольник равнобедренный, а медиана проведена к основанию.

пар. Это общий случай: никакие два треугольника не равны.

пара. Пусть , а медиана в проведена из . Тогда её половинки равны. Для этого нужно , что возможно. Остальные треугольники при общем положении не равны ни друг другу, ни этим двум.

пары. Пусть с медианой из в и с медианой из в . Тогда , , и , то есть . Получаем две пары равных половинок. Целые треугольники и при этом не равны, как и их половинки между собой.

пары невозможны. Если равны три треугольника из четырёх, то среди них есть половинка из и половинка из равной площади. Тогда , значит . Так как — и биссектриса, и медиана, то и . Треугольники и — равные прямоугольные.

В прямоугольном треугольнике с прямым углом половинки равны только при медиане из и только если он равнобедренный (). Тогда тоже равнобедренный прямоугольный, и при одинаковых медианах равны все четыре. Если же в медиана другая, её половинки (прямоугольные с катетами и ) не равны равнобедренным. Ровно три равных получиться не может.

пар. Пусть и . Тогда и . Оба треугольника и — равные равнобедренные прямоугольные. Проведём в каждом медиану из к гипотенузе. Все четыре маленьких треугольника равны, получаем пар.