Маша нарисовала треугольник ABC и провела в нём… (геометрия)

№ Медианы и равные треугольники

Маша нарисовала треугольник $A B C$ и провела в нём медиану $B K$ . В каждом из треугольников $A B K$ и $C B K$ она провела ещё по одной медиане, получив тем самым четыре треугольника. Сколько пар равных треугольников могло получиться у Маши? Если равных треугольников несколько, надо учитывать все возможные пары, образуемые ими. В ответе укажите все возможные варианты.

Решение

Обозначим , , , .

Любая медиана делит треугольник на два треугольника равной площади, поэтому все четыре треугольника имеют одинаковую площадь. Равными (конгруэнтными) они будут не всегда.

Медиана в делит его на два равных треугольника тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный, и медиана проведена из вершины при основании равных сторон к противоположной стороне. Условия такие:

медиана из : ;
медиана из : ;
медиана из : .

Для аналогично: , , .

Вариант пар. Берём произвольный треугольник общего вида: ни один из четырёх треугольников не равен другому. Пар нет.

Вариант пара. Берём и проводим в медиану из , а в любую медиану общего вида. Тогда равны только две части треугольника , получается ровно пара.

Вариант пар. Берём прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом . Тогда — центр описанной окружности, . Проводим в и медианы из . Все четыре треугольника — прямоугольные с одной гипотенузой и острыми углами и , значит, все равны. Получаем пар.

Других вариантов нет. Четыре треугольника по классам равенства разбиваются так: ( пар), ( пара), ( пары), ( пары), ( пар). Перебор всех сочетаний условий для двух половин показывает:

если обе половины делятся на равные части, то это возможно только при (угол прямой), и тогда все четыре треугольника равны — пар, а ровно пары не получается;
ровно равных треугольника тоже не получаются: при проверке всех сочетаний условий либо возникает противоречие, либо равными оказываются все четыре.

💡 Почему так

Медиана делит треугольник на две части равной площади, но равны они как фигуры только при выполнении условия равнобедренности. Три равных треугольника из четырёх, как и ровно две пары, получиться не могут.

Ответ

✓ dzmen.ru

, ,

Помогло?

Маша нарисовала треугольник ABC и провела в нём медиану BK. В каждом…