Что такое случайная изменчивость
Случайная изменчивость — это разброс результатов, когда ты повторяешь одно и то же действие, а числа получаются разными. Причина в случайных мелочах, которые заранее не учесть.
Примеры случайной изменчивости из жизни:
- время, за которое ты доходишь до школы: сегодня 18 минут, завтра 22;
- число орлов при 10 бросках монеты: то 4, то 6, то 7;
- масса одной и той же булочки из магазина: 98 г, 102 г, 100 г;
- результат в беге на 60 м, когда ты бежишь несколько раз подряд.
Отдельное число предсказать нельзя. Но если данных много, в них видна устойчивая картина. Её описывают с помощью средних значений числового набора. Подробнее об этих показателях есть на странице описательная статистика.
Среднее числового набора: как найти
Числовой набор — это просто ряд результатов измерений. У него есть несколько характеристик, и в 8 классе их обычно вводят вместе.
- Среднее арифметическое: сложи все числа и раздели сумму на количество чисел.
- Медиана: расположи числа по возрастанию. Если их нечётное количество, медиана стоит посередине. Если чётное, это среднее арифметическое двух средних чисел.
- Мода: число, которое встречается чаще всех. Мод может быть несколько, а может не быть совсем, если все числа разные.
- Размах: наибольшее число минус наименьшее. Он показывает, насколько сильно данные разбросаны.
У среднего арифметического есть полезное свойство: сумма отклонений всех чисел от среднего равна нулю. Это удобно для проверки вычислений.
Разбор задания: время дороги до школы
Условие. Шесть дней подряд Артём засекал время дороги до школы (в минутах): 18, 22, 20, 25, 19, 22. Найди среднее, медиану, моду и размах.
Шаг 1. Среднее. Сумма: 18 + 22 + 20 + 25 + 19 + 22 = 126. Измерений шесть, поэтому 126 ÷ 6 = 21 минута.
Шаг 2. Медиана. Сначала упорядочим числа: 18, 19, 20, 22, 22, 25. Их шесть, поэтому берём два средних, 20 и 22. Медиана равна (20 + 22) ÷ 2 = 21.
Шаг 3. Мода. Число 22 встречается дважды, остальные по одному разу. Мода равна 22.
Шаг 4. Размах. 25 − 18 = 7 минут.
Проверка. Отклонения от среднего: −3, +1, −1, +4, −2, +1. Их сумма −3 + 1 − 1 + 4 − 2 + 1 = 0, значит, среднее найдено верно.
Вывод. Обычно дорога занимает около 21 минуты, а день ото дня время колеблется в пределах 7 минут.
Почему средние от серии к серии разные
Если Артём повторит измерения на следующей неделе, среднее получится другим, например 20,5 или 21,8. Это тоже случайная изменчивость, только уже у средних значений.
Есть закономерность: чем больше измерений в наборе, тем меньше среднее зависит от случайных отклонений. Среднее по 5 броскам игрального кубика может сильно отличаться от 3,5, а среднее по 500 броскам окажется заметно ближе к нему. Так же частота выпадения орла при большом числе бросков приближается к ½.
О том, как величина, зависящая от случая, описывается в математике, читай на странице случайная величина. А основы про исходы и шансы собраны в теме случайные события.
Где ошибаются чаще всего
- Медиану ищут в неупорядоченном ряду. Берут число из середины списка в том порядке, как оно записано. Правильно: сначала расположи числа по возрастанию, потом ищи середину.
- При чётном количестве чисел берут одно из средних. Нужно взять оба средних числа и найти их среднее арифметическое.
- Делят сумму не на то количество. Если число повторяется, его всё равно надо считать столько раз, сколько оно встретилось. В примере выше делим на 6, а не на 5 разных значений.
- Считают, что случай «выравнивает» результаты. Если монета пять раз подряд упала орлом, шанс орла в шестой раз по-прежнему ½. Среднее приближается к ожидаемому за счёт большого числа бросков, а не потому, что монета что-то «компенсирует».
Какие задания бывают и как пользоваться страницей
По теме обычно дают наборы измерений: время, рост, массу, результаты соревнований или бросков. Нужно найти среднее, медиану, моду, размах, сравнить две серии или объяснить, почему результаты различаются. Данные часто задают таблицей, о таких формах записи читай в теме представление данных.
Заданий по этой теме от учеников на сайте пока нет. Когда они появятся, их список будет над текстом страницы: найди похожее по условию и сверь ход решения со своим. Если задания в списке нет, сфотографируй своё и получи решение с пошаговым разбором.