Множество, элемент и подмножество: основные понятия
Множество — это набор различных объектов, которые называют его элементами. Элементы записывают в фигурных скобках: A = {2, 4, 6}. Запись 4 ∈ A читается «4 принадлежит A», а 5 ∉ A значит, что 5 в множестве нет.
В множестве нет повторов и не важен порядок. {1, 2, 2, 3} и {3, 2, 1} задают одно и то же множество {1, 2, 3}. Это важно, когда ты выписываешь цифры числа: в 498014 цифра 4 встречается дважды, но в множество она входит один раз.
Множество B называют подмножеством множества A, если каждый элемент B есть и в A. Записывают так: B ⊂ A. Пустое множество ∅ не содержит элементов и считается подмножеством любого множества.
Эти понятия лежат в основе элементов математической логики и теории множеств в 9 классе. Они же нужны дальше, в операциях над событиями.
Объединение и пересечение множеств
Для двух множеств A и B есть две главные операции:
- Объединение A ∪ B: все элементы, которые лежат хотя бы в одном из множеств.
- Пересечение A ∩ B: только те элементы, которые лежат и в A, и в B одновременно.
Если общих элементов нет, пересечение равно ∅.
В задачах часто просят найти цифры, которые не использованы в записи числа. Тогда сначала выпиши все десять цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, вычеркни те, что есть в числе, и то, что осталось, и будет нужным множеством.
Как найти объединение и пересечение множеств цифр: разбор
Задание. Найди объединение и пересечение множеств цифр, используемых в записи чисел 70325 и 5810.
Шаг 1. Выпиши цифры первого числа без повторов: A = {7, 0, 3, 2, 5}.
Шаг 2. Так же для второго числа: B = {5, 8, 1, 0}.
Шаг 3. Для объединения собери все цифры из обоих множеств, каждую один раз. Удобно идти по возрастанию: A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 8}.
Шаг 4. Для пересечения оставь цифры, которые есть в обоих множествах. Это 0 и 5, поэтому A ∩ B = {0, 5}.
Проверка. Каждый элемент пересечения должен быть и в A, и в B. Объединение не может содержать меньше элементов, чем любое из исходных множеств.
Подмножество множества букв: как составлять слова
В заданиях вида «составь не менее 5 слов, буквы которых образуют подмножество множества A» нужны слова, где каждая буква взята из A. Повторять буквы в слове можно: в множестве повторы не учитываются.
Пример. Пусть D = {с, о, л, н, е, т}. Подходят слова:
- слон: {с, л, о, н} ⊂ D;
- сено: {с, е, н, о} ⊂ D;
- тон: {т, о, н} ⊂ D;
- столет: {с, т, о, л, е} ⊂ D;
- ось не подходит, так как буквы ь в D нет.
Проверяй так: берёшь слово, выписываешь его буквы и сверяешь каждую с множеством. Одна лишняя буква, и слово не подходит.
Логические задачи про правду и ложь
В таких задачах каждый человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт, а условия записаны как «если… то…». Главное правило: условие «если X правдив, то Y лжёт» работает, только когда X правдив. Если X лжёт, это условие про Y ничего не говорит.
У такого условия есть и обратная сторона: если Y правдив, то X точно лжёт. Иначе получилось бы противоречие.
Задание. Аня, Боря и Вера говорят правду или лгут. Известно: 1) если Аня правдива, то Боря лжёт; 2) если Боря правдив, то Вера лжёт; 3) если Вера правдива, то Аня лжёт. Аня говорит правду. Кто лжёт?
Шаг 1. Аня правдива, по условию 1 Боря лжёт.
Шаг 2. Проверь Веру. Если бы она была правдива, по условию 3 Аня лгала бы, а это неверно. Значит, Вера лжёт.
Шаг 3. Условие 2 не нарушено: Боря лжёт, поэтому оно ничего не требует.
Ответ: Аня говорит правду, Боря и Вера лгут.
Если цепочка длинная, предположи, что первый правдив, и иди по условиям вперёд. При противоречии вернись и проверь второй вариант. Для наглядности можно нарисовать граф: стрелка от одного человека к другому.
Где ошибаются чаще всего
- Повторы в множестве. Цифры числа 498014 образуют {0, 1, 4, 8, 9}, а не {4, 9, 8, 0, 1, 4}. Каждый элемент записывают один раз.
- Путаница ∪ и ∩. Объединение собирает всё, пересечение оставляет только общее. Пересечение никогда не больше любого из множеств.
- Неиспользуемые цифры. Ученик выписывает цифры числа вместо недостающих. Сначала запиши все десять цифр, потом вычёркивай.
- Вывод из ложного условия. Из «Боря лжёт» нельзя сделать вывод о Вере по условию «если Боря правдив, то Вера лжёт». Это условие молчит, пока Боря не правдив.
- Лишняя буква в слове. Слово не подходит, если хотя бы одной его буквы нет в заданном множестве.
Какие задания по теме есть на странице
Ученики присылают в основном четыре типа заданий: найти объединение и пересечение множеств цифр (в том числе неиспользуемых), составить слова из букв, образующих подмножество, и решить логическую задачу про правдивых и лжецов. Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и сверь ход решения со своим. Если подходящего нет, сфотографируй своё условие и получи решение по шагам.
Если тема даётся легко, переходи к комбинаторике и случайным событиям, где множества применяют постоянно.