Условная вероятность события: что это такое
Условная вероятность события B при условии A — это вероятность того, что B произойдёт, если известно, что A уже произошло. Записывают P(B | A). Читается «вероятность B при условии A», это одно и то же, что «условная вероятность B при A».
Пример с кубиком. Бросили кубик, и тебе сказали, что выпало число больше 3. Остались три возможных исхода: 4, 5, 6. Среди них чётных два, поэтому вероятность чётного числа при этом условии равна 2/3. Без условия она была бы 3/6 = ½.
Условие сужает множество исходов. Считать теперь нужно только внутри события A, а не среди всех исходов опыта.
Формула условной вероятности и правило умножения
Условная вероятность равна:
P(B | A) = P(A ∩ B) ÷ P(A), при условии что P(A) ≠ 0.
Здесь A ∩ B означает «произошли и A, и B». Если переставить формулу, получится правило умножения: P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A). Его используют, когда события идут друг за другом.
События A и B называют независимыми, если P(B | A) = P(B): знание об A ничего не меняет. Тогда правило умножения превращается в P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Пример на выбор без возврата и с возвратом. В коробке 16 белых и 16 чёрных фигур, достают две. Если первую не возвращают, вероятность двух чёрных равна 16/32 × 15/31 = 15/62, потому что после первой чёрной их осталось 15 из 31. Если возвращают, события независимы: 16/32 × 16/32 = ¼.
Сами события и их обозначения разбираются на странице про случайные события, а смысл знака ∩ — в теме про операции над событиями.
Условная вероятность на диаграмме Эйлера и на дереве
Диаграмма Эйлера. События A и B рисуют как два пересекающихся круга. Чтобы найти P(B | A), возьми вероятность общей части кругов и раздели на вероятность всего круга A. Всё, что лежит вне A, в расчёте не участвует.
Дерево случайного эксперимента. Из начала выходят ветви первого шага, из каждой — ветви второго, на каждой подписана вероятность. Правила два:
- вдоль одного пути вероятности умножают;
- если нужное событие встречается на нескольких путях, результаты путей складывают.
Второе правило и есть формула полной вероятности. Вероятности на ветвях второго шага — это как раз условные вероятности.
Про сумму условных вероятностей. Для одного условия они дают единицу: P(B | A) + P(не B | A) = 1. А P(B | A) + P(B | не A) единице равняться не обязаны, это разные условия.
Разбор задания: две фабрики и бракованное стекло
Задача. Первая фабрика выпускает 60% стёкол, вторая — 40%. Брак у первой 2%, у второй 5%. Найди вероятность того, что случайное стекло бракованное, а затем вероятность того, что бракованное стекло сделано на первой фабрике.
Шаг 1. Обозначим: F1 — стекло с первой фабрики, F2 — со второй, B — стекло бракованное. Дано: P(F1) = 0,6, P(F2) = 0,4, P(B | F1) = 0,02, P(B | F2) = 0,05.
Шаг 2. Строим дерево и перемножаем вдоль путей к браку: 0,6 × 0,02 = 0,012 и 0,4 × 0,05 = 0,02.
Шаг 3. Складываем пути: P(B) = 0,012 + 0,02 = 0,032.
Шаг 4. Теперь известно, что стекло бракованное. Нужна P(F1 | B) = P(F1 ∩ B) ÷ P(B) = 0,012 ÷ 0,032 = 0,375.
Ответ: 0,032 и 0,375. Такой второй вопрос называют формулой Байеса: условие и результат меняются местами.
Где ошибаются чаще всего
- Путают P(B | A) и P(A | B). Вероятность, что у больного положительный тест, и вероятность, что при положительном тесте человек болен, — разные числа. Сначала выпиши, что дано и что известно как условие.
- Делят не на то. В P(B | A) делят на P(A), то есть на вероятность условия, а не на P(B).
- Складывают вдоль ветви дерева. Вдоль пути вероятности умножают, складывают только разные пути.
- Считают события независимыми там, где предметы не возвращают. Если после первого шага состав коробки изменился, вторую вероятность нужно считать заново: 15/31, а не 16/32.
Какие задания по условной вероятности есть на странице
Ученики 9–11 классов присылают в основном задачи на полную вероятность: две фабрики, анализ на болезнь, система контроля батареек, яйца из двух хозяйств. Часто попадаются формула Байеса, задания с диаграммой Эйлера, выбор без возврата и серии выстрелов до первого попадания. Последние близки к теме испытания Бернулли.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и сверь ход решения со своим. Если подходящего нет, сфотографируй условие и отправь на сайт: ты получишь решение с ходом по шагам. Если в задаче нужно считать число способов, пригодится комбинаторика.