Что такое случайный опыт и случайное событие
Случайный опыт — это действие, результат которого заранее неизвестен: бросили монету, вытащили шар из мешка, вызвали такси. Каждый возможный результат называется элементарным событием, или исходом. У монеты их два: орёл и решка. У кубика шесть: числа от 1 до 6.
Случайное событие — это набор исходов, которые нас устраивают. При броске кубика событие «выпало чётное число» состоит из трёх исходов: 2, 4 и 6. Событие «выпало 6» состоит из одного исхода, то есть само является элементарным.
Есть два крайних случая. Событие, которое происходит всегда, называется достоверным, его вероятность равна 1. Событие, которое не может произойти, называется невозможным, его вероятность равна 0. У любого другого события вероятность лежит между 0 и 1.
Как найти вероятность случайного события
Если все исходы равновозможны, вероятность считают по формуле:
P(A) = m ÷ n
Здесь n — число всех исходов опыта, m — число исходов, при которых событие A происходит.
Равновозможность обычно видна из слов в условии: «симметричная монета», «правильный кубик», «наугад», «случайно», «порядок определяется жребием». Если таких слов нет, а исходы явно неравны, формула не подходит.
Вероятность можно записать дробью, десятичной дробью или, если просят, округлить. Читай, что требуется в ответе: «до сотых» значит два знака после запятой.
Разбор задания: вероятность случайного события по шагам
Задача. В корзине 30 яблок: 12 красных, 10 жёлтых, остальные зелёные. Вынимают одно яблоко наугад. Найдите вероятность того, что оно зелёное.
- Находим число всех исходов. Вынуть можно любое из 30 яблок, значит n = 30.
- Находим число подходящих исходов. Зелёных яблок 30 − 12 − 10 = 8, значит m = 8.
- Делим: P = 8 ÷ 30 = 4/15 ≈ 0,27.
Монета, брошенная дважды. Найдём вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз. Выписываем все исходы по порядку: ОО, ОР, РО, РР. Всего n = 4. Подходят ОР и РО, значит m = 2 и P = 2 ÷ 4 = 0,5.
Если в задании много исходов, их удобно считать не перебором, а с помощью комбинаторики. Для трёх бросков монеты исходов 2 × 2 × 2 = 8, а ровно два орла дают ООР, ОРО и РОО, то есть 3/8.
Противоположное событие и диаграмма Эйлера
Противоположное событие — это «событие A не произошло». Вероятности связаны просто:
P(не A) = 1 − P(A)
Пример: вероятность того, что новая ручка пишет плохо, равна 0,2. Тогда вероятность того, что она пишет хорошо, равна 1 − 0,2 = 0,8. Такой приём выручает, когда проще посчитать «плохие» исходы, чем «хорошие».
В заданиях по рисунку часто изображена диаграмма Эйлера для случайных событий: два круга A и B, которые могут пересекаться. Пересечение кругов — это «произошли и A, и B». Всё закрашенное вместе — «произошло A или B (или оба)». Тогда
P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B)
Если круги не пересекаются, события несовместны и вероятности просто складываются. Подробнее о том, как читать такие рисунки, написано в теме операции над событиями.
Где ошибаются чаще всего
- Считают ОР и РО одним исходом. Тогда при двух бросках монеты получается 3 исхода и ответ 1/3. На самом деле исходов 4, потому что порядок бросков важен, и ответ 1/2.
- Берут не то число в знаменателе. Задача: из 25 билетов Костя не выучил 4, найти вероятность выученного билета. Ошибка — делить 4 на 25. Нужно взять выученные: 21 ÷ 25 = 0,84, или вычесть: 1 − 4/25.
- Забывают дочитать условие. В задаче про 100 ручек «красная или чёрная» сначала надо найти число чёрных. Остальных ручек 100 − 23 − 12 − 17 = 48, чёрных поровну с синими, то есть 24. Красных или чёрных 23 + 24 = 47, ответ 0,47.
- Получают вероятность больше 1. Это всегда признак ошибки: числитель не может быть больше знаменателя.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего это задачи на классическую вероятность: пирожки на тарелке, билеты на экзамене, спортсмены, которых выбирают жребием, машины такси. Много задач на противоположное событие (брак, дефекты, «пишет хорошо»), на бросание монеты и кубика, а также на относительную частоту по таблице.
Посмотри список заданий выше: скорее всего, там есть задача с таким же сюжетом и другими числами, и у неё расписан весь ход решения. Если своей задачи не нашёл, сфотографируй её и получи решение с пошаговым объяснением. Когда в условии одно событие зависит от другого, переходи к теме условная вероятность.