Что такое описательная статистика
Описательная статистика сжимает длинный список данных до нескольких чисел, по которым видно главное. Это могут быть оценки за четверть, температура воды в опыте, число очков баскетболиста за сезон или рост учеников класса. Тема идёт в 7–8 классах в курсе «Вероятность и статистика» и повторяется в 9 классе.
Данные сначала собирают и оформляют в таблицу или на диаграмме, об этом тема представление данных. Когда данные собраны, их описывают числовыми характеристиками, и с этого начинаются задания, которые разобраны на этой странице.
Основные характеристики числового набора
Чаще всего в задачах встречаются такие величины:
- Среднее арифметическое: сумма всех чисел, делённая на их количество.
- Медиана: число посередине в упорядоченном по возрастанию наборе. Если чисел чётное количество, медиана равна среднему арифметическому двух средних чисел.
- Мода: число, которое встречается в наборе чаще остальных. Моды может не быть, если все числа разные, а может быть и две.
- Размах: разность наибольшего и наименьшего чисел.
- Отклонение от среднего: разность между числом и средним арифметическим набора.
Среднее и медиана показывают, где находится «центр» набора. Размах, дисперсия и стандартное отклонение показывают, насколько числа разбросаны вокруг этого центра. Эти характеристики иногда называют описательными средними и мерами рассеивания.
Как найти среднее, медиану, размах и отклонения: разбор
Задание. Дан набор: 4, 7, 5, 30, 9. Найдите среднее арифметическое, медиану, размах и отклонения от среднего.
- Сумма чисел: 4 + 7 + 5 + 30 + 9 = 55. Чисел пять, поэтому среднее арифметическое равно 55 ÷ 5 = 11.
- Упорядочиваем набор: 4, 5, 7, 9, 30. Чисел пять, значит, медиана стоит на третьем месте и равна 7.
- Размах: 30 − 4 = 26.
- Отклонения: 4 − 11 = −7; 7 − 11 = −4; 5 − 11 = −6; 30 − 11 = 19; 9 − 11 = −2.
- Проверка: −7 − 4 − 6 + 19 − 2 = 0. Сумма отклонений от среднего всегда равна нулю, и если у тебя получилось другое число, где-то ошибка в счёте.
Заметь, что среднее (11) заметно больше медианы (7). Это сделало число 30: оно резко отличается от остальных. Медиана к таким выбросам устойчивее, поэтому в вопросе «какая мера устойчивее к выбросам» ответ почти всегда «медиана».
Рассеивание, дисперсия и квартили
Два набора могут иметь одинаковое среднее, но разный разброс. Например, 4, 5, 5, 6 и 1, 3, 7, 9 дают среднее 5, но во втором числа лежат гораздо дальше от центра. Если отметить числа на числовой прямой, это видно сразу: у набора с большим рассеиванием точки расположены шире.
Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений. Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии.
Пример для набора 2, 4, 6, 8. Среднее равно 5, отклонения −3, −1, 1, 3, их квадраты 9, 1, 1, 9. Дисперсия: (9 + 1 + 1 + 9) ÷ 4 = 5. Стандартное отклонение: √5 ≈ 2,2.
Квартили делят упорядоченный набор на части. Нижний квартиль — медиана нижней половины, верхний — медиана верхней половины. Если чисел нечётное количество, саму медиану в половины не включают. Для набора 2, 4, 5, 7, 8, 10, 13 медиана равна 7, нижний квартиль 4, верхний 10, а межквартильный размах (разность квартилей) равен 6.
Где ошибаются чаще всего
- Медиану ищут в неупорядоченном наборе. Брать число из середины записи нельзя. Сначала расставь числа по возрастанию, потом считай.
- Забывают про чётное количество чисел. В наборе 3, 5, 8, 12 медиана равна (5 + 8) ÷ 2 = 6,5, а не 5 и не 8.
- Путают размах с наибольшим значением. Размах — это разность наибольшего и наименьшего чисел.
- Теряют знак у отклонения. Отклонение числа, меньшего среднего, отрицательно. Если нужно абсолютное отклонение, знак отбрасывают, но только по прямому указанию в задании.
- Путают медиану набора и медиану треугольника. Это разные понятия: в статистике медиана — число из середины набора, в геометрии — отрезок из вершины к середине стороны.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего приходят расчёты среднего, медианы, моды и размаха по ряду чисел или по таблице, поиск отклонений от среднего и сравнение рассеивания двух наборов на числовой прямой. Реже попадаются задачи на восстановление набора по среднему и отклонениям, примеры набора с заданными характеристиками, вопросы про квартили и вывод по данным. Для следующих шагов пригодятся темы случайная изменчивость и случайная величина.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и сверь ход решения. Если похожего нет, сфотографируй своё условие и получи решение с пояснениями по шагам.