Что такое случайная величина и её значения
Случайная величина — это число, которое определяется исходом случайного опыта. Бросили кубик, и число выпавших очков стало случайной величиной X. Бросаем монету до первого орла, и число бросков тоже случайная величина. Заранее неизвестно, какое значение получится. Известно только, какие значения случайной величины возможны и с какой вероятностью.
Саму величину обозначают заглавной буквой (X, Y), а её значения — строчной с номером: x₁, x₂, x₃. Запись X = 3 означает событие «величина приняла значение 3», а P(X = 3) — его вероятность. Запись 2 < X ≤ 7 тоже событие: к нему относятся все исходы, где значение попало в этот промежуток.
Если с самими событиями ещё путаница, сначала посмотри тему случайные события.
Распределение случайной величины: таблица и вероятность события
Распределение случайной величины говорит, какие значения она принимает и с какими вероятностями. Чаще всего его задают таблицей: сверху значения, снизу вероятности.
У таблицы распределения случайной величины есть главное свойство: сумма всех вероятностей равна 1. Если одна вероятность в таблице неизвестна, её находят как 1 минус сумма остальных.
Чтобы найти вероятность случайной величины в промежутке, например P(−1 ≤ Y < 7), делай так:
- выпиши все значения из таблицы, которые попадают в промежуток;
- внимательно проверь границы: знак < не включает число, знак ≤ включает;
- сложи вероятности этих значений.
В заданиях с диаграммой Эйлера каждая точка — элементарный исход, а рядом подписано значение X. Если исходы равновозможны, вероятность события равна числу подходящих точек, делённому на число всех точек. Если у точек подписаны вероятности, просто сложи вероятности подходящих.
Математическое ожидание случайной величины: формула и смысл
Математическое ожидание случайной величины — это среднее значение, к которому приближается результат, если повторять опыт много раз. Его обозначают EX, а считают так:
EX = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ
Каждое значение умножают на его вероятность и всё складывают. Для кубика EX = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × ⅙ = 3,5. Такого значения на кубике нет, и это нормально: ожидание случайной величины не обязано быть одним из возможных значений.
В задачах про лотерею выигрыш — случайная величина, а его ожидание показывает средний выигрыш на один билет. Вероятность каждого выигрыша равна числу таких билетов, делённому на число всех билетов.
Кроме ожидания, у величины есть дисперсия. Она показывает, насколько значения разбросаны вокруг среднего, и считается по формуле DX = E(X²) − (EX)². В заданиях этой темы чаще просят именно ожидание.
Разбор задания: найти вероятность и ожидание по таблице
Задание. Случайная величина X принимает значения −1, 0, 2 и 5 с вероятностями 0,2; 0,3; 0,1 и p. Найдите p, математическое ожидание EX и вероятность P(X ≥ 2).
Шаг 1. Сумма вероятностей равна 1. Сейчас 0,2 + 0,3 + 0,1 = 0,6, поэтому p = 1 − 0,6 = 0,4.
Шаг 2. Считаем ожидание: EX = (−1) × 0,2 + 0 × 0,3 + 2 × 0,1 + 5 × 0,4 = −0,2 + 0 + 0,2 + 2 = 2.
Шаг 3. Событие X ≥ 2 включает значения 2 и 5. Значит, P(X ≥ 2) = 0,1 + 0,4 = 0,5.
Ответ: p = 0,4; EX = 2; P(X ≥ 2) = 0,5.
Отдельный тип задач — «сколько в среднем бросков до результата». Тут таблицу не строят, а используют правило: если успех в каждой попытке происходит с вероятностью p, то до первого успеха в среднем нужно 1/p попыток. Для монеты и орла это 2 броска, для кубика и шестёрки 6. Ожидания складываются:
- до двух орлов: 2 + 2 = 4 броска;
- до трёх шестёрок: 3 × 6 = 18 бросков;
- пока не выпадут и орёл, и решка: первый бросок даёт любую сторону, потом в среднем 2 броска ждём другую, итого 1 + 2 = 3;
- пока не выпадут все шесть граней: 6 × (1 + ½ + ⅓ + ¼ + ⅕ + ⅙) = 14,7.
Последний пример основан на том, что каждая новая грань ждётся дольше предыдущей. Похожие серии независимых попыток разбираются в теме испытания Бернулли.
Где ошибаются чаще всего
- Не проверяют сумму вероятностей. Если в таблице она не равна 1, где-то ошибка в данных или в твоём вычислении неизвестной вероятности. Проверка занимает десять секунд.
- Путают строгие и нестрогие неравенства. Для Y < 7 значение 7 не берут, для Y ≤ 7 берут. Если в промежуток попадают значения, которых нет в таблице, например −1, их просто пропускают: вероятность у них нулевая.
- Делят сумму значений на их количество. Так можно считать только когда все вероятности одинаковы. В общем случае каждое значение нужно умножать на свою вероятность.
- Сравнивают рубли с вероятностями. В задаче про лотерею сначала найди EX в рублях, а потом вычти его из цены билета или из неё. Ответ «на сколько цена выше» — это разность цены и ожидания.
Какие задания есть на странице
Ученики присылают в основном задания на математическое ожидание: по таблице распределения, по лотерее, по числу бросков монеты или кубика. Ещё встречаются диаграммы Эйлера, где нужно найти вероятность события вида 2 < X ≤ 7, и таблицы дискретной величины, где нужно сложить вероятности нужных значений.
Сначала найди в списке выше задание, похожее на твоё, и посмотри ход решения. Если подходящего нет, сфотографируй своё условие, и ты получишь решение с пояснениями. Для задач про число бросков пригодится комбинаторика, а для таблиц с условиями вроде «при условии, что…» — условная вероятность.