Что такое геометрическое определение вероятности
Геометрическая вероятность работает там, где исходов бесконечно много. Точку бросают в мишень, стрелка часов останавливается в случайном месте, снаряд попадает в случайную точку круга. Посчитать такие исходы по одному нельзя, поэтому их сравнивают по размеру.
Пусть вся область, откуда выбирают точку, имеет размер S. Благоприятная часть, то есть та, где событие наступает, имеет размер s. Тогда:
P = s ÷ S
Под «размером» понимают длину, если точка выбирается на отрезке, площадь, если на плоскости, и угол или долю окружности, если речь о стрелке или повороте. Главное условие: точка выбирается случайно и равномерно, то есть в любое место области она попадает с одинаковой вероятностью. В задачах это обычно сказано словами «наудачу», «в любую точку с одинаковой вероятностью» или подразумевается.
Если исходов конечное число и все они равновозможны, используют обычное определение из темы случайные события. Геометрическое определение, по сути, его продолжение для случая, когда считать исходы по штукам нельзя.
Как решать задачи на геометрическую вероятность
Порядок действий почти всегда один:
- Определи, что выбирается случайно: точка на отрезке, точка в фигуре, положение стрелки.
- Выбери меру: длина, площадь или угол.
- Найди меру всей области (S).
- Найди меру благоприятной части (s).
- Раздели s на S и проверь, что ответ от 0 до 1.
При выборе точки на плоскости почти всегда нужны площади. Для отрезка достаточно длин. Для циферблата удобно считать деления: на двенадцатичасовом круге их 12, и все положения стрелки равноправны.
Границы фигуры на ответ не влияют. Вероятность попасть ровно в одну точку или на линию равна нулю, потому что у точки и линии на плоскости нет площади. Поэтому «попал внутрь круга» и «попал в круг вместе с границей» дают один и тот же ответ.
Разбор задачи: попадание в мишень
Условие. Мишень — круг радиуса 10 см. В центре нарисован меньший круг радиуса 4 см. Стрелок попадает в любую точку мишени с одинаковой вероятностью. Найди вероятность попасть в малый круг.
Шаг 1. Точка выбирается на плоскости, значит, меряем площадью.
Шаг 2. Вся область — большой круг: S = π × 10² = 100π.
Шаг 3. Благоприятная часть — малый круг: s = π × 4² = 16π.
Шаг 4. P = 16π ÷ 100π = 16 ÷ 100 = 0,16.
Ответ: 0,16.
Обрати внимание, что π сократилось. Так бывает всегда, когда обе фигуры круги, и тогда можно сразу делить квадраты радиусов: (4 ÷ 10)² = 0,16. Это связано с подобием: площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Если радиус цели вдвое меньше, вероятность попасть в неё в четыре раза меньше, а не в два.
Где ошибаются чаще всего
- Длина вместо площади. В задаче про круг или квадрат считают отношение радиусов или сторон. Для точки на плоскости нужно отношение площадей: 4 ÷ 10 = 0,4 — неверно, правильно 0,16.
- Радиус и диаметр. Если в условии дан диаметр, радиус вдвое меньше. Перед подстановкой в πr² проверь, что у тебя именно радиус.
- Неверный отрезок на циферблате. От отметки 10 до отметки 1 стрелка идёт через 11 и 12, это 3 деления из 12, а не 9. Двигайся по часовой стрелке и считай деления, а не вычитай числа на циферблате.
- Ответ больше 1. Благоприятная часть не может быть больше всей области. Если получилось больше 1, ты, скорее всего, перепутал, что делить на что, или взял площадь не той фигуры.
- Часть области вне фигуры. Если благоприятная фигура выходит за пределы всей области, считай только ту часть, которая внутри.
Какие задания присылают ученики
Чаще всего это задачи 9 класса про циферблат и про попадание в круг. В одной нужно найти вероятность того, что остановившаяся часовая стрелка окажется между двумя отметками: ответ получается долей от 12 делений. В другой снаряд попадает в круг разброса, а нужно сравнить площади частей. Там пригодится подобие кругов и отношение квадратов радиусов.
Посмотри список заданий выше и найди похожее: в каждом есть полный ход решения. Если своего нет, сфотографируй условие и отправь на сайт, чтобы получить решение по шагам. Для задач, где исходы можно пересчитать, пригодится комбинаторика.