Что такое испытания Бернулли
Испытание Бернулли — опыт, у которого ровно два исхода: «успех» и «неудача». Монета (орёл или решка), выстрел (попал или промахнулся), звонок (ответили или нет) подходят под это описание. Успехом называют тот исход, вероятность которого нужно найти, даже если по смыслу он «плохой».
Серия испытаний Бернулли — несколько таких опытов подряд при двух условиях:
- испытания независимы: результат одного не влияет на другие;
- вероятность успеха p в каждом испытании одна и та же.
Вероятность неудачи обозначают q = 1 − p. Число испытаний обычно называют n, число успехов — k.
Элементарных событий в одном испытании Бернулли два: успех и неудача. В серии из n испытаний элементарное событие — вся цепочка результатов, например УУН или НУН, и таких цепочек 2ⁿ. Для четырёх бросков монеты их 16. Равновероятными они будут только при p = ½, поэтому схему «благоприятные исходы делить на все» в общем случае применять нельзя. Подробнее о самих понятиях — в теме случайные события.
Формула Бернулли: вероятность k успехов в n испытаниях
Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний успех наступит ровно k раз:
P(k) = C(n, k) × p^k × q^(n−k)
C(n, k) — число способов выбрать, в каких именно k испытаниях из n будет успех. Считается так: C(n, k) = (n × (n−1) × … × (n−k+1)) / (1 × 2 × … × k). Например, C(4, 2) = (4 × 3) / (1 × 2) = 6. Больше об этом числе — в теме комбинаторика.
Логика простая. Одна конкретная цепочка с k успехами и n−k неудачами имеет вероятность p^k × q^(n−k): испытания независимы, и вероятности перемножаются. Таких цепочек C(n, k), а их вероятности складываются.
Число успехов в серии — это случайная величина, а формула задаёт вероятность каждого её значения.
Для «хотя бы одного успеха» удобнее противоположное событие: 1 − q^n. Для «не более двух успехов» нужно сложить P(0), P(1) и P(2).
Как решить задачу на серию испытаний Бернулли: разбор
Задача. Баскетболист попадает в штрафной бросок с вероятностью 0,7. Он бросает 4 раза. Найди вероятность того, что он попадёт ровно 3 раза. Ответ округли до сотых.
- Определи успех. Успех — попадание, значит p = 0,7, q = 1 − 0,7 = 0,3. Всего n = 4 броска, нужно k = 3 успеха.
- Найди число способов выбрать, какие 3 броска из 4 будут удачными: C(4, 3) = (4 × 3 × 2) / (1 × 2 × 3) = 4. Это те же четыре случая, когда единственный промах приходится на 1-й, 2-й, 3-й или 4-й бросок.
- Вероятность одной цепочки: 0,7³ × 0,3 = 0,343 × 0,3 = 0,1029.
- Умножь на число цепочек: 4 × 0,1029 = 0,4116.
- Округли: 0,41.
Та же схема работает для монеты. Вероятность ровно двух решек при четырёх бросках: C(4, 2) × (½)² × (½)² = 6 × 1/16 = 0,375.
Где ошибаются чаще всего
Умножают на C(n, k), когда порядок задан. Если биатлонист делает пять выстрелов с вероятностью попадания 0,8, а спрашивают, что первые три раза он попал, а последние два промахнулся, цепочка одна: 0,8³ × 0,2² = 0,512 × 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02. Множитель C(5, 3) = 10 дал бы вероятность трёх попаданий в любом порядке, это другая задача.
Путают p и q. В формуле p^k относится к успехам, q^(n−k) — к неудачам. Проверка: показатели k и n−k в сумме должны давать n.
Применяют схему там, где испытания зависимы. Если карты вынимают из колоды без возвращения, вероятность меняется от шага к шагу, и формула Бернулли не подходит. Для таких задач нужна условная вероятность.
Округляют по дороге. Считай до конца точно и округляй только итог, иначе в сотых получится другая цифра.
Какие задания присылают и как пользоваться страницей
Ученики 9–11 классов присылают три типа задач: число решек при нескольких бросках монеты, серия выстрелов с заданным порядком попаданий и промахов, а также обзвон, где звонят до первого ответа. Последний случай называют геометрическим распределением: вероятность того, что первый успех будет на k-м испытании, равна q^(k−1) × p. При p = 0,3 первый ответ на третьем звонке получается с вероятностью 0,7² × 0,3 = 0,147.
Найди похожее задание в списке выше и сверь ход решения со своим. Если такого нет, сфотографируй своё условие и получи решение с пояснением каждого шага.