Операции над событиями, 8–10 класс: примеры с решением

Из простых событий A и B собирают сложные: «выпало чётное число и больше трёх», «хотя бы один выстрел попал», «закончился кофе в одном автомате, но не в обоих». Операции над событиями задают правила, как записать такое сложное событие через A и B и как найти его вероятность.

Тема идёт в курсе «вероятность и статистика» с 9 класса. Она опирается на случайные события и на язык множеств: события удобно рисовать кругами Эйлера, а «и», «или», «не» читать как пересечение, объединение и дополнение.

Пусть A — «мама купила торт», B — «мама купила виноград».

• Сумма A + B (в записи через множества A ∪ B): наступило хотя бы одно из событий. Это «торт или виноград», возможно и то и другое сразу. Поэтому на вопрос «назовите событие C = A + B» отвечают: мама купила торт или виноград.
• Произведение AB (A ∩ B): наступили оба события сразу. Здесь это «и торт, и виноград».
• Противоположное событие Ā: A не наступило. Ā — «торта не купили».
• Несовместные события не могут произойти вместе, то есть AB невозможно. На одном броске кубика «выпала единица» и «выпала шестёрка» несовместны.
• Независимые события: то, произошло ли A, не меняет вероятность B. Два выстрела, два разных автомата, два интернет-магазина обычно считают независимыми.

Составные записи читай по частям. Ā + N, где A и N — попадания при первом и втором выстреле, значит «первый раз промахнулся или второй раз попал».

Их немного, но каждую надо применять к своему случаю.

• Противоположное событие: P(Ā) = 1 − P(A).
• Сумма несовместных событий: P(A + B) = P(A) + P(B).
• Сумма любых событий: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB). Пересечение вычитают, потому что оно попало в обе вероятности.
• Произведение независимых событий: P(AB) = P(A) × P(B).
• «Хотя бы одно»: удобно искать как 1 − P(ни одно не наступило).

Два правила отрицания помогают с диаграммами. Событие «не (A и B)» то же, что «не A или не B». Событие «не (A или B)» то же, что «не A и не B».

В задачах с кругами Эйлера сначала заштрихуй нужную область. Например, Ā ∪ B — это всё, кроме той части A, которая не входит в B. Поэтому P(Ā ∪ B) = 1 − P(A без B). Затем сложи вероятности или посчитай точки в заштрихованной области и раздели на общее число точек.

Если в задаче нужно найти вероятность одного события при условии другого, это уже условная вероятность.

Условие. В двух кабинетах стоят проекторы. Вероятность того, что к концу дня проектор в кабинете 1 выключен, равна 0,4. Для кабинета 2 она равна 0,5. Вероятность того, что выключены оба, равна 0,25. Найдите вероятность того, что к концу дня оба проектора включены.

Шаг 1. Запиши события. A — выключен проектор в кабинете 1, B — выключен в кабинете 2. Известно: P(A) = 0,4, P(B) = 0,5, P(AB) = 0,25.

Шаг 2. Переведи вопрос на язык событий. «Оба включены» значит «не A и не B». Это противоположное событие к «хотя бы один выключен», то есть к A + B.

Шаг 3. Найди вероятность суммы. События совместны, так как AB возможно, поэтому пересечение вычитаем: P(A + B) = 0,4 + 0,5 − 0,25 = 0,65.

Шаг 4. Перейди к противоположному событию. P = 1 − 0,65 = 0,35.

Ответ: 0,35.

Проверка: если бы события были независимыми, P(AB) было бы 0,4 × 0,5 = 0,2. В условии 0,25, значит, их нельзя считать независимыми, и перемножать 0,6 × 0,5 было бы неверно.

Ещё два быстрых случая. Три продавца заняты независимо с вероятностью 0,3 каждый: все заняты с вероятностью 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,027. Вероятность того, что число пассажиров от 10 до 17, если меньше 18 бывает с вероятностью 0,82, а меньше 10 с вероятностью 0,51: 0,82 − 0,51 = 0,31.

• Складывают вероятности совместных событий без вычитания. Если A и B могут произойти вместе, нужно P(A) + P(B) − P(AB). Иначе вероятность суммы может выйти больше единицы.
• Перемножают вероятности там, где события зависимы. Формула P(A) × P(B) верна только для независимых событий. Если в условии дана вероятность пересечения, как 0,12 для двух автоматов, умножать не нужно, бери её готовой.
• Путают несовместные и независимые события. Несовместные не могут случиться вместе, а у независимых вероятность одного не зависит от другого. Если вероятности ненулевые, несовместные события как раз зависимы: узнав, что произошло A, ты точно знаешь, что B не произошло.
• Считают «хотя бы один» напрямую. Перебирать варианты долго и легко пропустить один. Быстрее взять 1 − P(ни одного).
• Не дочитывают знак отрицания на диаграмме. Ā ∩ B и A ∩ B̄ — разные области. Подпиши каждую область прежде, чем считать.

Ученики 9–11 классов присылают задачи на диаграммы Эйлера, сложение и умножение вероятностей, независимые события (батарейки, магазины, тесты), вероятность попадания в промежуток и расшифровку записей вроде A + B или Ā + N. Часть заданий связана с серией испытаний, как стрелок до первого попадания: подробнее об этом в теме испытания Бернулли.

Найди в списке выше задание, похожее на своё, и сверь ход решения со своим. Если такого нет, сфотографируй условие, и получишь решение с пояснением каждого шага.