ГДЗ Геометрия 9 класс Мерзляк, номер 436

№

Коллинеарные векторы и точки на прямой

Известно, что векторы $A B$ и $A C$ коллинеарны. Докажите, что точки $A$ , $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Верно ли обратное утверждение: если точки $A$ , $B$ и $C$ лежат на одной прямой, то векторы $A B$ и $A C$ коллинеарны?

Решение

Дано: .
Доказать: , , лежат на одной прямой.

Доказательство.

Если один из векторов нулевой (например, ), то среди трёх точек есть совпадающие, и через две различные точки проходит прямая, которой принадлежат все три точки.
Пусть оба вектора ненулевые. Коллинеарные векторы лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Прямые и имеют общую точку , поэтому они не могут быть параллельными различными прямыми. Значит, они совпадают, и точки , , лежат на одной прямой.

Обратное утверждение. Пусть , , лежат на одной прямой . Тогда векторы и лежат на одной прямой (нулевой вектор коллинеарен любому), то есть по определению коллинеарны. Обратное утверждение верно.

💡 Почему так

Критерий: точки , , лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Ответ

Доказано. Обратное утверждение верно.

Помогло?

Номер 436 ГДЗ Геометрия 9 класс, Мерзляк 2022, страница 108