ГДЗ Геометрия 9 класс Мерзляк, номер 437

№

Равные векторы и середины отрезков

Для четырёх точек $A$ , $B$ , $C$ и $D$ известно, что $A B = C D$ . Докажите, что середины отрезков $A D$ и $B C$ совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков $A D$ и $B C$ совпадают, то $A B = C D$ .

Решение

Дано: .
Доказать: середины отрезков и совпадают.

Доказательство.

Пусть точки не лежат на одной прямой. Из следует: и , и векторы направлены одинаково. Четырёхугольник имеет две противоположные стороны и , которые параллельны и равны, значит, это параллелограмм.
Отрезки и — диагонали параллелограмма . Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому середины и — одна и та же точка .
Если все четыре точки лежат на одной прямой, введём на ней координаты: , , , . Равенство означает , откуда и — середины совпадают.

Обратное утверждение. Пусть середины и совпадают в точке .

Если точки не лежат на одной прямой, то и — пересекающиеся отрезки, диагонали четырёхугольника , и они делятся точкой пополам. По признаку параллелограмма — параллелограмм. Значит, , и (задача ) .
Если точки лежат на одной прямой, то из получаем , то есть векторы равны по длине и направлению: .

💡 Почему так

Диагонали параллелограмма делятся пополам, а четырёхугольник с диагоналями, делящимися пополам, — параллелограмм. Это утверждение используется в доказательстве теоремы ..

Ответ

Доказано в обе стороны.

Помогло?

Номер 437 ГДЗ Геометрия 9 класс, Мерзляк 2022, страница 108